Συμμετροκάθετη
Συντονιστές: silouan, Doloros, george visvikis
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Συμμετροκάθετη
και το μέσο του Να δείξετε ότι
Λέξεις Κλειδιά:
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Συμμετροκάθετη
Αν το συμμετρικό του ως προς το μέσο της , τότε από το παραλληλόγραμμο (οι διαγώνιες διχοτομούνται) προκύπτει ότι και (από τα μέσα των ) και με . Από το ορθόκεντρο του τριγώνου (σημείο τομής δύο υψών) οπότε και το ζητούμενο έχει αποδειχθείgeorge visvikis έγραψε: ↑Παρ Αύγ 10, 2018 9:04 amΣυμμετροκάθετη.png
είναι το ύψος ορθογωνίου τριγώνου Έστω το συμμετρικό του ως προς και το μέσο του Να δείξετε ότι
Στάθης
Υ.Σ. Έχω και άλλη λύση αλλά ντρέπομαι να την γράψω. Ας τη γράψει ο Μιχάλης Τσουρακάκης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Συμμετροκάθετη
Έστω , το συμμετρικό σημείο του ως προς το σημείο .
Στα όμοια ορθογώνια τρίγωνα , λόγω , οι ευθείες των ομόλογων πλευρών τους είναι κάθετες μεταξύ τους.
Συμπεραίνεται έτσι ότι ( ομόλογες διάμεσοι στα ίδια τρίγωνα ) και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
Στα όμοια ορθογώνια τρίγωνα , λόγω , οι ευθείες των ομόλογων πλευρών τους είναι κάθετες μεταξύ τους.
Συμπεραίνεται έτσι ότι ( ομόλογες διάμεσοι στα ίδια τρίγωνα ) και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
Re: Συμμετροκάθετη
Και μια διανυσματική λύση:
Επομένως:
Δεδομένου ότι και ως κάθετες, έχουμε:
Δηλ. κάθετη στην
Επομένως:
Δεδομένου ότι και ως κάθετες, έχουμε:
Δηλ. κάθετη στην
Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Συμμετροκάθετη
Στο σχήμα του Γιώργου.
Είναι (1)
Τα τρίγωνα και είναι όμοια.
Προκύπτει ότι
Αυτή γράφεται και ως (2)
Από (1) και (2) προκύπτει ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια.
Αρα οπότε
Είναι (1)
Τα τρίγωνα και είναι όμοια.
Προκύπτει ότι
Αυτή γράφεται και ως (2)
Από (1) και (2) προκύπτει ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια.
Αρα οπότε
-
- Δημοσιεύσεις: 2770
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Συμμετροκάθετη
george visvikis έγραψε: ↑Παρ Αύγ 10, 2018 9:04 amΣυμμετροκάθετη.png
είναι το ύψος ορθογωνίου τριγώνου Έστω το συμμετρικό του ως προς
και το μέσο του Να δείξετε ότι
Αν κατάλαβα καλά Στάθη έχεις στο μυαλό σου λύση που στηρίζεται στο δικό σου θεώρημα που μου αρέσει να εφαρμόζω.
Τι είναι αυτό πάντως που ντρέπεσαι να γράψεις και δεν ντρέπομαι να γράψω εγώ ,δεν το καταλαβαίνω
Έστω μέσον της και οπότε είναι οι ορθές προβολές της επί των αντίστοιχα
Στόχος μας σύμφωνα με το θ.STATHIS KOUTRAS είναι η ισχύς της
Αλλά και οπότε και από το εγγράψιμο
Εναλλακτικά: Το είναι ορθόκεντρο του άρα .Αλλά άρα
τελευταία επεξεργασία από Μιχάλης Τσουρακάκης σε Σάβ Αύγ 11, 2018 12:12 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Συμμετροκάθετη
Ας το δούμε και με Αναλυτική, για να υπάρχει. Απαιτούνται μόνο πράξεις ρουτίνας.
Με αρχή των αξόνων το και . Eίναι , η έχει κλίση και η έχει κλίση . Άρα οι δύο τελευταίες έχουν εξισώσεις και , αντίστοιχα. Λύνοντας, τέμνονται στο
και άρα το μέσον του είναι .
Έπεται ότι οι κλίσεις των είναι και , αντίστοιχα, οπότε είναι κάθετες (γινόμενο ).
Με αρχή των αξόνων το και . Eίναι , η έχει κλίση και η έχει κλίση . Άρα οι δύο τελευταίες έχουν εξισώσεις και , αντίστοιχα. Λύνοντας, τέμνονται στο
και άρα το μέσον του είναι .
Έπεται ότι οι κλίσεις των είναι και , αντίστοιχα, οπότε είναι κάθετες (γινόμενο ).
Re: Συμμετροκάθετη
Αν το μέσο του ύψους θα είναι . Αλλά οι ως ομόλογοι διάμεσοι των ομοίων ορθογωνίων τριγώνων .
Άρα
Παρατήρηση . Εναλλακτικά το είναι ορθόκεντρο του τριγώνου
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Συμμετροκάθετη
Ας δούμε για όφελος των μαθητών και μία δεύτερη λύση με Αναλυτική, γιατί έχει τα πλεονεκτήματά της.
Παίρνουμε κέντρο αξόνων το με και άρα . H συνθήκη καθετότητας είναι (από τις κλίσεις των ) η , δηλαδή . Άλλος τρόπος για το τελευταίο είναι , που δίνει πάλι την ίδια σχέση.
Τώρα, οι κλίσεις των είναι και , αντίστοιχα. Το γινόμενό τους λόγω της είναι
, από όπου η ζητούμενη καθετότητα.
Παίρνουμε κέντρο αξόνων το με και άρα . H συνθήκη καθετότητας είναι (από τις κλίσεις των ) η , δηλαδή . Άλλος τρόπος για το τελευταίο είναι , που δίνει πάλι την ίδια σχέση.
Τώρα, οι κλίσεις των είναι και , αντίστοιχα. Το γινόμενό τους λόγω της είναι
, από όπου η ζητούμενη καθετότητα.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης