Η ομορφιά της κατασκευής

#1

Να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC

αν γνωρίζουμε : Το εμβαδόν του $E = {k^2}$ , τη γωνία

και το μήκος της διχοτόμου του AD = d

.

S.E.Louridas · #2

Doloros έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 10, 2018 8:17 pm
Να κατασκευαστεί τρίγωνο αν γνωρίζουμε : Το εμβαδόν του $E = {k^2}$ , τη γωνία και το μήκος της διχοτόμου του .

Μία γρήγορη άποψη με βάση τη γωνία $\angle A$ και τη διχοτόμο της

, στο σχήμα που ακολουθεί.

Παρατηρούμε ότι $\displsystyle{AB + AC = \frac{{2{k^2}}}{b},\;\,ct.}$ Άρα από το θεώρημα Maclaurin (BF=AC, AM=MF)

ο περιγεγραμμένος

κύκλος στο τρίγωνο ABC

περνά από σταθερό σημείο

της διχοτόμου

της γωνίας $\angle A$ (

είναι τομή της μεσοκάθετης του

με την διχοτόμο

της γωνίας $\angle A$ ).

Με κέντρο το

και ακτίνα $r = \sqrt {TL \cdot TZ} = \sqrt {TD \cdot TA} ,\;\,ct,$ κατασκευάζουμε κύκλο

και προσδιορίζουμε τα B, C,

ως τομές του κύκλου

με τις πλευρές της γωνίας $\angle A$ .

Θα επανέλθουμε για λεπτομέρειες.

#3

Doloros έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 10, 2018 8:17 pm
Να κατασκευαστεί τρίγωνο αν γνωρίζουμε : Το εμβαδόν του $E = {k^2}$ , τη γωνία και το μήκος της διχοτόμου του .

: Η ομορφιά της κατασκευής.png (10.87 KiB) Προβλήθηκε 731 φορές

Ανάλυση: Έστω ότι κατασκευάστηκε και είναι AD=d, BD=x, DC=y

και το ύψος CH=h.

$\displaystyle E = {k^2} \Leftrightarrow 2{k^2} = ch \Leftrightarrow h = \frac{{2{k^2}}}{c} \Leftrightarrow \frac{h}{b} = \frac{{2{k^2}}}{{bc}} \Leftrightarrow bc = 2{k^2}\frac{b}{h}$ Επειδή όμως η γωνία $\widehat A$ είναι σταθερή,

ο λόγος $\dfrac{b}{h}$ θα είναι σταθερός, άρα και το γινόμενο

θα είναι σταθερό, έστω $\boxed{bc=n^2}$

$\displaystyle {d^2} = bc - xy \Leftrightarrow xy = bc - {d^2} = {n^2} - {d^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{xy=ct=m^2}$

Κατασκευή: Κατασκευάζω γωνία $X\widehat AY=\widehat A,$ φέρνω τη διχοτόμο της και παίρνω τμήμα AD=d.

: Η ομορφιά της κατασκευής.β.png (12.43 KiB) Προβλήθηκε 731 φορές

Από το

φέρνω $DP\bot AX$ και στην προέκταση της

παίρνω σημείο

ώστε $\displaystyle PD \cdot DQ = {m^2}.$ Ο κύκλος διαμέτρου

τέμνει την

στο

και η

την

στο

και ολοκληρώνεται η κατασκευή. Το πρόβλημα έχει γενικά δύο λύσεις.

#4

Doloros έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 10, 2018 8:17 pm
Να κατασκευαστεί τρίγωνο αν γνωρίζουμε : Το εμβαδόν του $E = {k^2}$ , τη γωνία και το μήκος της διχοτόμου του .

Ας το δούμε κι αλλιώς:

Από τους τύπους

E=1/2sinA bc, E=1/2 sin(A/2) d (b+c)

τα

κατασκευάζονται.

#5

Άλλη μία.

: Η ομορφιά της κατασκευής.γ.png (10.27 KiB) Προβλήθηκε 686 φορές

Κατασκευάζω γωνία $X\widehat AY=\widehat A,$ φέρνω τη διχοτόμο της και παίρνω τμήμα AD=d.

Φέρνω $DE||AY, DH\bot AX.$

Τα τμήματα AE, DH

είναι σταθερά και έστω AE=l, DH=h.

Σκοπός μας είναι να προσδιορίζουμε ένα από τα σημεία

B, C

. Θέτω λοιπόν EB=x.

Από την ομοιότητα των τριγώνων ABC, EDB

έχουμε:

$\displaystyle \frac{{(ABC)}}{{(EDB)}} = \frac{{{{(l + x)}^2}}}{{{x^2}}} \Leftrightarrow \frac{{2{k^2}}}{{xh}} = \frac{{{{(l + x)}^2}}}{{{x^2}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{hx^2-2(k^2-lh)x+hl^2=0}$ απ' όπου βρίσκουμε το

κλπ.

Για να έχουμε λύση πρέπει $k^2\ge 2lh.$

Η ομορφιά της κατασκευής

Η ομορφιά της κατασκευής

Re: Η ομορφιά της κατασκευής

Re: Η ομορφιά της κατασκευής

Re: Η ομορφιά της κατασκευής

Re: Η ομορφιά της κατασκευής

Μέλη σε σύνδεση