Λόγος... με τόνο

#1

: Λόγος... με τόνο.png (15.84 KiB) Προβλήθηκε 517 φορές

Στο παραπάνω σχήμα, τα σημεία M, N

τριχοτομούν την AC,

ενώ $\dfrac{BP}{PC}=\dfrac{7}{6}.$ Να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{(ABC)}{(MNQ)}.$

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 12, 2018 11:39 am
Στο παραπάνω σχήμα, τα σημεία τριχοτομούν την ενώ $\dfrac{BP}{PC}=\dfrac{7}{6}.$ Να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{(ABC)}{(MNQ)}.$

Από Μενέλαο στο BNC

με διατέμνουσα την

έχουμε $1= \dfrac{BP}{PC}\cdot \dfrac{CM}{MN}\cdot \dfrac{NQ}{QB}= \dfrac{7}{6}\cdot \dfrac{2}{1}\cdot \dfrac{NQ}{QB}$ , άρα $\dfrac{NQ}{QB}= \dfrac{3}{7}$ οπότε $\dfrac{NQ}{BN}= \dfrac{3}{10}$ .

Έτσι

$\dfrac{(ABC)}{(MNQ)} = \dfrac{(ABC)}{(BNC)}\cdot \dfrac{(BNC)}{(MNQ)} = \dfrac{(ABC)}{(BNC)}\cdot \dfrac{(BMN)}{(MNQ)} =$

$=\dfrac{AC}{NC}\cdot \dfrac{BN}{NQ}= \dfrac{3}{1} \cdot \dfrac{10}{3}=10$

STOPJOHN · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 12, 2018 11:39 am
Λόγος... με τόνο.png
Στο παραπάνω σχήμα, τα σημεία τριχοτομούν την ενώ $\dfrac{BP}{PC}=\dfrac{7}{6}.$ Να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{(ABC)}{(MNQ)}.$

Καλημέρα Γιώργο

Είναι $BP=\dfrac{7a}{13},PC=\dfrac{6a}{13}$
Εστω $E_{0}=(MQN),E_{1}=(BMQ),E_{2}=(BQP)$
Τότε $(AMB)=(MBN)=(NBC)=E_{0}+E_{1},$
Θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο BNC

με τέμνουσα $MQP,\dfrac{BQ}{QN}=\dfrac{7}{3},(*) (1),(*)\Rightarrow \dfrac{(ABC)}{(MQN)}=10$

Γιάννης

Καλημέρα Μιχάλη

#4

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 12, 2018 11:39 am
Λόγος... με τόνο.png
Στο παραπάνω σχήμα, τα σημεία τριχοτομούν την ενώ $\dfrac{BP}{PC}=\dfrac{7}{6}.$ Να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{(ABC)}{(MNQ)}.$

Θεώρημα Μενελάου στο $\vartriangle MPC$ με διατέμνουσα $\overline {BQN}$ :

: Λόγος με τόνο.png (13.17 KiB) Προβλήθηκε 477 φορές

$\dfrac{{MQ}}{{QP}} \cdot \dfrac{{PB}}{{BC}} \cdot \dfrac{{CN}}{{NM}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{MQ}}{{QP}} = \dfrac{{13}}{6} \Rightarrow \boxed{\frac{{MQ}}{{MP}} = \frac{{13}}{{20}}}\,\,(1)$ .Επίσης ισχύει :

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{(MNQ)}}{{(MPC)}} = \frac{{MQ}}{{MP}} \cdot \frac{{MN}}{{MC}} = \frac{{13}}{{20}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{{13}}{{40}} \hfill \\ \frac{{(MPC)}}{{(ABC)}} = \frac{{CM}}{{CA}} \cdot \frac{{CP}}{{CB}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{{13}} = \frac{4}{{13}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Πολλαπλασιάζω κατά μέλη και αντιστρέφω το αποτέλεσμα: $\boxed{\frac{{(ABC)}}{{(MNQ)}} = 10}$

Με πρόλαβε πολλοί ! Καλημερίζω όλους .

#5

Άραγε, αν στον επόμενο σύνδεσμο, θεωρήσουμε έναν, τον κατάλληλο,

από τους τρεις λόγους ίσο με μηδέν, ο τύπος του (MNL)

θα δώσει λύση;

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... ών#p229927

Λόγος... με τόνο

Λόγος... με τόνο

Re: Λόγος... με τόνο

Re: Λόγος... με τόνο

Re: Λόγος... με τόνο

Re: Λόγος... με τόνο

Μέλη σε σύνδεση