Ποιος είναι μεγαλύτερος;

Ορέστης Λιγνός · #1

Ποιος είναι ο μεγαλύτερος, ο $A={2017}^{2018}$ ή ο $B={2018}^{2017}$ ;

Η άσκηση είναι ιδιοκατασκευή - Clopyright !

min## · #2

Η παράγωγος της $x^{1/x}$ είναι η $\frac{x^{1/x}}{x^2}(1-ln(x))$ και άρα στα "x" που ενδιαφερόμαστε είναι φθίνουσα: $2018^{\frac{1}{2018}}< 2017^{\frac{1}{2017}}$ κλπ.

#3

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 10, 2018 10:26 pm
Ποιος είναι ο μεγαλύτερος, ο $A={2017}^{2018}$ ή ο $B={2018}^{2017}$ ;

Με χρήση παραγώγων

είναι προσιτή: Παραγωγίζοντας την $\frac {\ln x}{x}$ (δίνει $\frac {1-ln x}{x^2}$ ) βλέπουμε ότι για e< x

είναι γνήσια φθίνουσα. Άρα

$\frac {\ln 2018}{2018} < \frac {\ln 2107}{2017}$ ή αλλιώς $2018^ {2017} < 2107 ^{2018}$ .

#4

Με χρήση του αναπτύγματος του διωνύμου είναι απλό και γνωστό ότι $\left ( 1+\frac{1}{n} \right ) ^n < 3$ (είναι μάλιστα $\approx e$ ).

Άρα $\left (\dfrac{2018}{2017} \right ) ^{2017} = \left ( 1+\dfrac{1}{2017} \right ) ^{2017} < 3 < 2017$ από όπου το ζητούμενο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Αν αντί της ανισότητας $(1+\frac{1}{n})^{n}< 3$ πάρουμε την $(1+\frac{1}{n})^{n}< 4$
μπορεί να βγει και χωρίς το διώνυμο.
Με Bernouli (είναι γνωστά) αποδεικνύεται ότι $(1+\frac{1}{n})^{n}< (1+\frac{1}{n+1})^{n+1}$

και $(1+\frac{1}{n+1})^{n+2}< (1+\frac{1}{n})^{n+1}$

Επειδή προφανώς $(1+\frac{1}{n})^{n}< (1+\frac{1}{n})^{n+1}$

παίρνουμε ότι για φυσικούς n,k

είναι

$(1+\frac{1}{n})^{n}< (1+\frac{1}{k})^{k+1}$

Για k=1

την πήραμε.

Xriiiiistos · #6

Αρκεί να βρούμε ποιος από τους $log_{2017}A$ , $log_{2017}B$ είναι μεγαλύτερος

$log_{2017}B=log_{2017}2018^{2017}=2017log_{2017}2018=2017\cdot log_{2017}2017\frac{2018}{2017}=2017(log_{2017}2017+log_{2017}\frac{2018}{2017})=2017+log_{2017}\frac{2018}{2017}<2017+1=2018log_{2017}2017=log_{2017}2017^{2018}=log_{2017}A$

Oπότε A>B

#7

Για ξαναδές αυτό το βήμα

Xriiiiistos έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 11, 2018 1:18 am

$2017(log_{2017}2017+log_{2017}\frac{2018}{2017})=2017+log_{2017}\frac{2018}{2017}$

min## · #8

Διαφορετικά είναι : $2017=1+\frac{2016}{2017}+\frac{2016}{2017}+...$
όπου οι όροι είναι 2018.Επειδή η $x^{18}$ είναι αύξουσα(στο $R_{\geq 0}$ πάντα)
,και επειδή $2017=1+\frac{2016}{2017}+\frac{2016}{2017}+...\geqslant 2018\sqrt[2018]{\frac{2016^{2017}}{2017^{2017}}}$ αρκεί να δειχτεί ότι $2018^{2018}\cdot \frac{2016^{2017}}{2017^{2017}}> 2018^{2017}$ και τελικά $2016^{2017}> 2017^{2016}$ :επαγωγικά φτάνουμε στην 3^4>4^3

που ισχύει...

Ποιος είναι μεγαλύτερος;

Ποιος είναι μεγαλύτερος;

Re: Ποιος είναι μεγαλύτερος;

Re: Ποιος είναι μεγαλύτερος;

Re: Ποιος είναι μεγαλύτερος;

Re: Ποιος είναι μεγαλύτερος;

Re: Ποιος είναι μεγαλύτερος;

Re: Ποιος είναι μεγαλύτερος;

Re: Ποιος είναι μεγαλύτερος;

Μέλη σε σύνδεση