Συνάρτηση
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
-
- Δημοσιεύσεις: 219
- Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Συνάρτηση
Η εκφώνηση έχει κάποια θεματάκια. Θα έπρεπε να λέει για κάθε ώστε . Επίσης υπάρχει το ζήτημα αν ή όχι μιας και η απάντηση ίσως και να αλλάζει.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Συνάρτηση
Η ακριβής εκφώνηση είναι:
Έστω ότι το συμβολίζει το σύνολο των θετικών ακεραίων. Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις
έτσι ώστε για .
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Συνάρτηση
Ωραία. Άρα το ένα θέμα ξεκαθαρίζει πλήρως ενώ το άλλο είναι σχεδόν αυτονόητο.
Για έχω:
Επομένως το είναι τέλειο τετράγωνο.
Για έχω:
Επομένως το είναι τέλειο τετράγωνο.
Άρα και το είναι τέλειο τετράγωνο.
Δηλαδή είναι τέλειο τετράγωνο για κάθε .
Για περιττό () έχω και επειδή τα είναι τέλεια τετράγωνα, το ίδιο ισχύει και για το . Έχει επίσης αποδειχθεί ότι τέλειο τετράγωνο και άρα τέλειο τετράγωνο για κάθε περιττό . Ομοίως τέλειο τετράγωνο για κάθε άρτιο .
Μπορώ λοιπόν να γράψω για κάποια συνάρτηση . Καταλήγω όμως στην για κάθε .
Αλλά τότε το πρέπει επίσης να είναι τέλειο τετράγωνο για κάθε . Δηλαδή το να είναι τέλεια τέταρτη δύναμη. Επαγωγικά (στο ), για κάθε και κάθε το είναι τέλεια δύναμη με εκθέτη . Απαραίτητα πρέπει . (Επειδή αν τότε το δεν μπορεί να γραφτεί στην μορφή αφού .)
Άρα για κάθε .
Για έχω:
Επομένως το είναι τέλειο τετράγωνο.
Για έχω:
Επομένως το είναι τέλειο τετράγωνο.
Άρα και το είναι τέλειο τετράγωνο.
Δηλαδή είναι τέλειο τετράγωνο για κάθε .
Για περιττό () έχω και επειδή τα είναι τέλεια τετράγωνα, το ίδιο ισχύει και για το . Έχει επίσης αποδειχθεί ότι τέλειο τετράγωνο και άρα τέλειο τετράγωνο για κάθε περιττό . Ομοίως τέλειο τετράγωνο για κάθε άρτιο .
Μπορώ λοιπόν να γράψω για κάποια συνάρτηση . Καταλήγω όμως στην για κάθε .
Αλλά τότε το πρέπει επίσης να είναι τέλειο τετράγωνο για κάθε . Δηλαδή το να είναι τέλεια τέταρτη δύναμη. Επαγωγικά (στο ), για κάθε και κάθε το είναι τέλεια δύναμη με εκθέτη . Απαραίτητα πρέπει . (Επειδή αν τότε το δεν μπορεί να γραφτεί στην μορφή αφού .)
Άρα για κάθε .
Re: Συνάρτηση
Μια κάπως straight-forward λύση(απαιτεί μόνο πράξεις).
Η ιδέα είναι να γραφούν τα πάντα συναρτήσει των .
Έχω , δηλαδή .Επιπλέον, δηλαδή .
Έχω κατά σειρά,,
και αν συνεχίσω,φτιάχνω τις σχέσεις και ,οι οποίες ισχύουν (μαζί-αθροιστικά) για όλους τους αριθμούς .Αν βάλω στην αρχική και χρησιμοποιήσω τους παραπάνω τύπους για το δεξί μέλος ,παίρνω ,ενώ για καταλήγω στην και αξιοποιώντας τις 2 τελευταίες .Χρειάζομαι άλλη μια σχέση που θα αποδείξει ότι τελικώς .Μια τέτοια είναι η .Άρα και από τους τύπους, .
Η ιδέα είναι να γραφούν τα πάντα συναρτήσει των .
Έχω , δηλαδή .Επιπλέον, δηλαδή .
Έχω κατά σειρά,,
και αν συνεχίσω,φτιάχνω τις σχέσεις και ,οι οποίες ισχύουν (μαζί-αθροιστικά) για όλους τους αριθμούς .Αν βάλω στην αρχική και χρησιμοποιήσω τους παραπάνω τύπους για το δεξί μέλος ,παίρνω ,ενώ για καταλήγω στην και αξιοποιώντας τις 2 τελευταίες .Χρειάζομαι άλλη μια σχέση που θα αποδείξει ότι τελικώς .Μια τέτοια είναι η .Άρα και από τους τύπους, .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες