Ανίσωση 2

Xriiiiistos · #1

Αν για τους θετικούς a,b,c

ισχύει ότι $2a^{2}\geq b^{2},2b^{2}\geq c^{2}$ KAI $2c^{2}\geq a^{2}$ να αποδείξετε το εξής

$\frac{a^{2}}{c}+\frac{b^{2}}{a}+\frac{c^{2}}{b}\geq3 \sqrt[6]{(2a^{2}-b^{2})(2b^{2}-c^{2})(2c^{2}-a^{2})}$

ksofsa · #2

Από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου έχω:

$\sqrt[3]{(2a^2-b^2)(2b^2-c^2)(2c^2-a^2)}\leq \frac{a^2+b^2+c^2}{3}\Leftrightarrow 3\sqrt[6]{(2a^2-b^2)(2b^2-c^2)(2c^2-a^2)}\leq \sqrt{3}\sqrt{(a^2+b^2+c^2)}$

Οπότε αρκεί ν.δ.ό.

$\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\geq \sqrt{3}\sqrt{(a^2+b^2+c^2)}$

Ομως από Cauchy -Schwartz:

$\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}= \frac{a^4}{ca^2}+\frac{b^4}{ab^2}+\frac{c^4}{bc^2}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ca^2+ab^2+bc^2}$

Οπότε, αρκεί ν.δ.ό.

$(a^2+b^2+c^2)^3\geq 3(ca^2+ab^2+bc^2)^2$

Ομως, από Cauchy -Schwartz:

$(ca^2+ab^2+bc^2)^2\leq (a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

Αρα, αρκεί ν.δ. ό.

$(a^2+b^2+c^2)^2\geq 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\Leftrightarrow (a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2\geq 0$ , που προφανώς ισχύει.

min## · #3

Άλλη προσέγγιση:Είναι $LHS\geq 3\sqrt[3]{abc}$ ,οπότε αρκεί $xyz\geq (2x-y)(2y-z)(2z-x)$ με x,y,z=a^2,b^2,c^2

.Από εδώ μπορώ να κάνω το εξής: 2x-y=k,2y-z=l,2z-x=m

,οπότε αρκεί $\frac{(4k+2l+m)(k+4l+2m)(2k+l+4m)}{7^{3}}\geq kml$ το οποίο είναι προφανές από AM-GM

.

Xriiiiistos · #4

Αλλιώς αρκεί να δείξω $2\frac{a^{2}}{c}+2\frac{b^{2}}{a}+2\frac{c^{2}}{b}\geq6 \sqrt[6]{(2a^{2}-b^{2})(2b^{2}-c^{2})(2c^{2}-a^{2})}$

$2\frac{a^{2}}{c}+2\frac{b^{2}}{a}+2\frac{c^{2}}{b}=\frac{2a^{2}-b^{2}+b^{2}}{c}+\frac{2b^{2}-c^{2}+c^{2}}{a}+\frac{2c^{2}-a^{2}+a^{2}}{b}\geq$

$\geq \frac{2b\sqrt{2a^{2}-b^{2}}}{c}+\frac{2c\sqrt{2b^{2}-c^{2}}}{a}+\frac{2a\sqrt{2c^{2}-a^{2}}}{b}\geq 6\sqrt[3]{abc}\frac{\sqrt[6]{(2a^{2}-b^{2})(2b^{2}-c^{2})(2c^{2}-a^{2})}}{\sqrt[3]{abc}}$

Ανίσωση 2

Ανίσωση 2

Re: Ανίσωση 2

Re: Ανίσωση 2

Re: Ανίσωση 2

Μέλη σε σύνδεση