Απόδειξη ταυτότητας

Xriiiiistos · #1

Να αποδείξετε με αναλυτικό τρόπο την ταυτότητα

$\binom{n}{2}=\binom{k}{2}+k(n-k)+\binom{n-k}{2}$

$1\leq k\leq n$

Να βρείτε ένα συνδυαστικό επιχείρημα για την ταυτότητα

Αυτήν η άσκηση είναι η τελευταία από εδώ http://www.samos.aegean.gr/math/felouzis/ask1.pdf

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Θέλουμε να επιλέξουμε δύο στοιχεία από ένα σύνολο

στοιχείων χωρίς να μας νοιάζει η σειρά επιλογής. Αυτό μπορεί να γίνει από τη μια με $\binom{n}{2}$ τρόπους.

Από την άλλη όμως μπορούμε να μετρήσουμε το πλήθος αυτών των επιλογών χωρίζοντας το σύνολο των

στοιχείων σε ένα σύνολο A με

στοιχεία, όπου $n\geq k\geq 0$ και σε ένα B με n-k

. Οπότε έχουμε

περιπτώσεις:

Να είναι και οι δύο αριθμοί από το

, άρα έχουμε $\binom{k}{2}$ τρόπους.

Να είναι και οι δύο αριθμοί από το B, άρα έχουμε $\binom{n-k}{2}$ τρόπους.

Να είναι ο ένας από το A και ο άλλος από το B, άρα έχουμε k(n-k)

τρόπους.

Η προσθετική αρχή μας λέει ότι συνολικά το πλήθος των επιλογών είναι $\binom{k}{2}+\binom{n-k}{2}+k(n-k)$ , άρα τελικά $\binom{n}{2}=\binom{k}{2}+\binom{n-k}{2}+k(n-k)$ , $n\geq k\geq 0$ .

Απόδειξη ταυτότητας

Απόδειξη ταυτότητας

Re: Απόδειξη ταυτότητας

Μέλη σε σύνδεση