Τομέας εκπλήξεων !

KARKAR · #1

: Τομέας εκπλήξεων !.png (12.62 KiB) Προβλήθηκε 475 φορές

Α) Στον κυκλικό τομέα $O\overset{\frown}{AB}$ εγγράψτε κύκλο (K)

, εφαπτόμενο στο μέσο του τόξου του

και σε σημεία των πλευρών του , τα οποία ας ονομάσουμε

και

.

Β) Η χορδή

τέμνει τον κύκλο στα σημεία P,Q

. Για ποιο μέτρο της γωνίας του τομέα ,

προκύπτει PQ=ST

; Δεν απαγορεύεται η χρήση λογισμικού

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 19, 2018 12:46 pm
Τομέας εκπλήξεων !.pngΑ) Στον κυκλικό τομέα $O\overset{\frown}{AB}$ εγγράψτε κύκλο , εφαπτόμενο στο μέσο του τόξου του

και σε σημεία των πλευρών του , τα οποία ας ονομάσουμε και .

Για την κατασκευή.

: Τομέας εκπλήξεων.α.png (11.84 KiB) Προβλήθηκε 405 φορές

Στο μέσο

του τόξου $\overset\frown{AB}$ φέρνω εφαπτομένη που τέμνει τις OA, OB

στα

αντίστοιχα.

Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου OEH

είναι ο ζητούμενος κύκλος.

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 19, 2018 12:46 pm

Β) Η χορδή τέμνει τον κύκλο στα σημεία . Για ποιο μέτρο της γωνίας του τομέα ,

προκύπτει ; Δεν απαγορεύεται η χρήση λογισμικού

: Τομέας εκπλήξεων.β.png (14.64 KiB) Προβλήθηκε 392 φορές

Αν $2\theta$ η γωνία του τομέα τότε $2\theta\simeq 65,870239^\circ.$ Αργότερα η σκέψη μου (αν και το τελικό αποτέλεσμα βγήκε με χρήση λογισμικού).

Edit: Άρση απόκρυψης.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 19, 2018 12:46 pm
Τομέας εκπλήξεων !.pngΑ) Β) Η χορδή τέμνει τον κύκλο στα σημεία . Για ποιο μέτρο της γωνίας του τομέα ,

προκύπτει ; Δεν απαγορεύεται η χρήση λογισμικού

Έστω $2\theta$ η γωνία του τομέα,

η ακτίνα του και

η ακτίνα του κύκλου. Είναι $OK=R-r, OT=OS=\sqrt{R^2-2Rr}$

: Τομέας εκπλήξεων.γ.png (16.28 KiB) Προβλήθηκε 346 φορές

$\displaystyle \frac{r}{{R - r}} = \sin \theta = \frac{{TQ}}{{2r}} \Leftrightarrow TQ = \frac{{2{r^2}}}{{R - r}},r = \frac{{R\sin \theta }}{{1 + \sin \theta }}$ και $\displaystyle ON = R\cos \theta$

$\displaystyle \frac{{TQ}}{{ON}} = \frac{{OT}}{{OB}} \Leftrightarrow \frac{{2{r^2}}}{{(R - r)\cos \theta }} = R - \sqrt {{R^2} - 2Rr}$ και αντικαθιστώντας $\displaystyle r = \frac{{R\sin \theta }}{{1 + \sin \theta }},$ προκύπτει η εξίσωση:

$\displaystyle \frac{{1 - \sin \theta }}{{\cos \theta }} = \frac{{\cos \theta (1 + \sin \theta ) - 2{{\sin }^2}\theta }}{{\cos \theta (1 + \sin \theta )}} \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow$ $\boxed{{\sin ^3}\theta + {\sin ^2}\theta + \sin \theta - 1 = 0}$ Με τη βοήθεια λογισμικού

βρίσκω: $\displaystyle \sin \theta = \frac{1}{3}\left( {\sqrt[3]{{17 + 3\sqrt {33} }} - \frac{2}{{\sqrt[3]{{17 + 3\sqrt {33} }}}} - 1} \right) \simeq 0,543689$ και $\boxed{2\theta\simeq 65,870239^\circ}$

Τομέας εκπλήξεων !

Τομέας εκπλήξεων !

Re: Τομέας εκπλήξεων !

Re: Τομέας εκπλήξεων !

Μέλη σε σύνδεση