Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2013 (6η τάξη)

[Al.Koutsouridis]

LXXVI Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας, 2013. Θέματα της 6ης τάξης.



Πρόβλημα 1. Ο Βασίλης πολλαπλασίασε έναν αριθμό με το και του προέκυψε πρώτος αριθμός. Ο Πέτρος πολλαπλασίασε τον ίδιο αριθμό με το και παρ’ όλα αυτά και αυτουνού του προέκυψε πρώτος αριθμός. Μπορεί άραγε, κανένας τους να μην άφησε λάθος;


Πρόβλημα 2. Η παρήχηση του τέσσερα (εικονογρίφος):

ΕΧ κάνει, τέσσερεις φορές το ΟΪ αν προστεθεί.
ΑΪ κάνει, τέσσερεις φορές το ΟΧ αν προστεθεί.
Των τεσσάρων μαζί, το άθροισμα να βρεθεί.

Διευκρίνηση: Τα διαφορετικά κεφαλαία γράμματα αντιστοιχούν σε διαφορετικά ψηφία. Τo ΕΧ είναι τέσσερεις φορές μεγαλύτερο από το ΟΪ. Το ΑΪ είναι τέσσερεις φορές μεγαλύτερο από το ΟΧ. Να βρεθεί το άθροισμα όλων των ΑΪ, ΕΧ, ΟΪ, ΟΧ μαζί.


Πρόβλημα 3. Ο σκύλος και η γάτα ταυτόχρονα δάγκωσαν ένα παριζάκι από τις αντίθετες άκρες του. Αν ο σκύλος αποκόψει το κομμάτι του και φύγει, της γάτας θα της απομείνουν γραμμάρια παραπάνω παριζάκι από ότι του σκύλου. Αν η γάτα αποκόψει το δικό της κομμάτι και φύγει, του σκύλου θα του απομείνουν γραμμάρια παριζάκι παραπάνω από ότι της γάτας. Πόσο παριζάκι θα μείνει, αν και οι δυο αποκόψουν τα κομμάτια τους και φύγουν;


Πρόβλημα 4. Δεκατρία παιδιά έκατσαν γύρο από ένα στρογγυλό τραπέζι και συνεννοήθηκαν, ότι τα αγόρια μεταξύ τους θα λένε την αλήθεια και στα κορίτσια ψέματα και τα κορίτσια, το αντίθετο, θα λένε ψέματα στα αγόρια και μεταξύ τους θα λένε την αλήθεια. Ένα από τα παιδιά είπε στο εκ δεξιά γειτονικά καθήμενό του: «Τα περισσότερα παιδιά από μας είναι αγόρια». Αυτό (το εκ δεξιά) είπε στο εκ δεξιά καθήμενό του: «Τα περισσότερα από μας είναι κορίτσια» και αυτό στο εκ δεξιά καθήμενό του: «Τα περισσότερα από μας είναι αγόρια» και αυτό στο εκ δεξιά καθήμενο του: «Τα περισσότερα από μας είναι κορίτσια» και ου το καθεξής, μέχρι που το τελευταίο παιδί είπε στο πρώτο: «τα περισσότερα από μας είναι αγόρια». Πόσο αγόρια ήταν στο τραπέζι;


Πρόβλημα 5. Η Μείζον και η Έλασσον νήσοι έχουν σχήμα ορθογωνίου και διαιρούνται σε ορθογώνια διαμερίσματα. Σε κάθε διαμέρισμα υπάρχει ένας δρόμος κατά μήκος μιας εκ των διαγώνιών του. Σε κάθε νήσο αυτοί οι δρόμοι σχηματίζουν μια κλειστή διαδρομή, η οποία δε διέρχεται από κανένα σημείο της δυο φορές. Στο σχήμα φαίνεται πως είναι χωρισμένη η Έλασσον νήσος, η οποία έχει όλο κι όλο έξι διαμερίσματα. Σχεδιάστε πως μπορεί να χωριστεί η Μείζον νήσος, αν έχει περιττό αριθμό διαμερισμάτων. Πόσα διαμερίσματα σας προέκυψαν;

mmo_2013_class6_pr5.png (12.42 KiB) Προβλήθηκε 2307 φορές

Πρόβλημα 6. (*) Τριάντα τρεις πειρατές μισθώθηκαν να φυλάνε την είσοδο στη Χώρα του Ποτέ για χρυσά νομίσματα. Ο πονηρός Κάπτεν Χουκ μπορεί να χωρίσει τους πειρατές σε ομάδες (σειρές) τυχαίου αριθμού ατόμων (ή να τους βάλει όλους σε μια ομάδα) και μετά να μοιράσει όλο το μισθό μεταξύ των ομάδων. Κάθε ομάδα μοιράζει το μισθό της σε ίσο αριθμό νομισμάτων στον καθένα και το υπόλοιπο το δίνει πίσω στον Κάπτεν Χουκ. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός νομισμάτων που μπορούν να απομείνουν στον Κάπτεν Χουκ, αν:
α) σε κάθε ομάδα τον μισθό τον μοιράζει όπως επιθυμεί;
β) σε κάθε ομάδα μοιράζει τον ίδιο μισθό;

(*) Στο πρωτότυπο αναφέρονται ήρωες και τόποι από παραμύθια της ρωσικής παράδοσης που εκφράζονται στο ποίημα «Ρουσλάν και Λουντμίλα» του Αλεξάντερ Πούσκιν.


Πηγή

[rek2]

Κάποια διευκρίνηση στο 2;;

[Al.Koutsouridis]

Κάποια διευκρίνηση στο 2;;

Προσπάθησα να διατηρήσω το ποιητικό χαρακτήρα του πρωτοτύπου αλλά, μάλλον απέτυχα .

Τα διαφορετικά κεφαλαία γράμματα αντιστοιχούν σε διαφορετικά ψηφία. Τo ΕΧ είναι τέσσερεις φορές μεγαλύτερο από το ΟΪ. Το ΑΪ είναι τέσσερεις φορές μεγαλύτερο από το ΟΧ. Να βρεθεί το άθροισμα όλων των ΑΧ, ΕΧ, ΟΪ, ΟΧ μαζί.

[Demetres]

Πρόβλημα 2. Η παρήχηση του τέσσερα (εικονογρίφος):

ΕΧ κάνει, τέσσερεις φορές το ΟΪ αν προστεθεί.
ΑΪ κάνει, τέσσερεις φορές το ΟΧ αν προστεθεί.
Των τεσσάρων μαζί, το άθροισμα να βρεθεί.

Διευκρίνηση: Τα διαφορετικά κεφαλαία γράμματα αντιστοιχούν σε διαφορετικά ψηφία. Τo ΕΧ είναι τέσσερεις φορές μεγαλύτερο από το ΟΪ. Το ΑΪ είναι τέσσερεις φορές μεγαλύτερο από το ΟΧ. Να βρεθεί το άθροισμα όλων των ΑΧ, ΕΧ, ΟΪ, ΟΧ μαζί.

Αν το ισούται με τότε το ισούται με , αλλά τότε το θα ισούται με , άτοπο. Με παρόμοιο τρόπο βρίσκουμε ότι τα μόνα δυνατά ζεύγη είναι τα και .

Σε κάθε περίπτωση ένα από τα είναι μεγαλύτερο ή ίσο του . Άρα πρέπει αφού αλλιώς ένα από τα θα είναι μεγαλύτερο ή ίσο του και άρα ένα από τα θα είναι μεγαλύτερο του , άτοπο.

Το απορρίπτεται αφού τότε θα είχαμε οπότε θα ήταν και που απορρίπτεται. Ομοίως . Πρέπει λοιπόν ή . Και στις δύο περιπτώσεις οι τέσσερις αριθμοί είναι οι με κάποια σειρά. Το άθροισμά τους ισούται με .

[Αν επιτρέπεται η χρήση και του ψηφίου στην αρχή του αριθμού τότε έχουμε και τους αριθμούς με άθροισμα .]

[vassilis314]

Πρόβλημα 1

Έστω ο ζητούμενος αριθμος (προφανώς δεν είναι ακέραιος αλλά ρητός). Υποθέτω ότι το είναι ανάγωγο κλάσμα δηλαδή το και δεν έχουν κοινούς διαιρέτες ή με άλλα λόγια το κλάσμα δεν απλοποιείται. Τα γινόμενα έχουν την μορφή:

• A' περίπτωση
• Β' περίπτωση

Για να προκύψει ακέραιο γινόμενο θα πρέπει ο παρονομαστής να απλοποιείται και στις δύο περιπτώσεις. Αυτό ισχύει μόνο αν .
Τώρα τα γινόμενα έχουν τη μορφή

• A' περίπτωση
• Β' περίπτωση

Η μόνη περίπτωση για την οποία τα γινόμενα δεν δίνουν σύνθετο αριθμό είναι όταν .

Συνεπώς ο ζητούμενος αριθμός είναι ο που δίνει τα γινόμενα 2 και 3 (που είναι πρώτοι αριθμοί).

[vassilis314]

Πρόβλημα 4

Αν τα περισσότερα παιδιά είναι αγόρια, τότε η ακολουθία των δηλώσεων είναι ΑΨΑΨΑΨΑΨΑΨΑΨΑ ενώ αν είναι κορίτσια η ακολουθία των δηλώσεων είναι ΨΑΨΑΨΑΨΑΨΑΨΑΨ. (Α: αληθής, Ψ: ψευδής).

Όπου έχουμε Α τότε το δεξι παιδι είναι του ιδίου φύλλου ενώ στο Ψ είναι διαφορετικού.

Υπάρχουν 4 περιπτώσεις,
το πρώτο παιδι της ακολουθίας να είναι αγόρι και τα περισσότερα παιδιά είναι αγόρια
το πρώτο παιδι της ακολουθίας να είναι κορίτσι και τα περισσότερα παιδιά είναι αγόρια
το πρώτο παιδι της ακολουθίας να είναι αγόρι και τα περισσότερα παιδιά είναι κορίτσια
το πρώτο παιδι της ακολουθίας να είναι κορίτσι και τα περισσότερα παιδιά είναι κορίτσια

Γράφω παρακάτω τη σειρά των παιδιών για κάθε περίπτωση. Σημείωση: γράφω 13 παιδιά και μετά την κάθετο (|) ξανά το πρώτο παιδί (το οποίο θα πρέπει να είναι το ίδιο με το πρώτο της ακολουθίας)
Α.
ΑΑΚΚΑΑΚΚΑΑΚΚΑ|A (Α:7, Κ:6) - περισσότερα παιδιά είναι αγόρια: ισχύει
Β.
ΚΚΑΑΚΚΑΑΚΚΑΑΚ|K (Α:6, Κ:7) - περισσότερα παιδιά είναι αγόρια: δεν ισχύει
Γ.
ΑΚΚΑΑΚΚΑΑΚΚΑΑ|K δεν ισχύει – δεν καταλήξαμε στο ίδιο πρώτο παιδί
Δ.
ΚΑΑΚΚΑΑΚΚΑΑΚΚ|A δεν ισχύει – δεν καταλήξαμε στο ίδιο πρώτο παιδί

Άρα μόνο η πρώτη περίπτωση μπορεί να ισχύει συνεπώς : 7 αγόρια

[vassilis314]

Πρόβλημα 3

Σ: κομματι σκύλου
Γ: κομματι γατας
Υ: υπόλοιπο κομματι




με αφαίρεση κατά μέλη έχουμε