Αποχρώντες λόγοι

KARKAR · #1

: Αποχρώντες λόγοι.png (18.79 KiB) Προβλήθηκε 1043 φορές

Οι άνισοι κύκλοι (O,R)

και

τέμνονται στα σημεία A,B

. Ο κύκλος (O,B,K)

τέμνει τους άλλους στα σημεία S,P

και την προέκταση της κοινής χορδής

στο

.

Υπολογίστε τους λόγους ; α) : $\dfrac{AS}{AP}$ και β) : $\dfrac{CS}{CP}$ .

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Οκτ 12, 2018 9:15 pm Αποχρώντες λόγοι.pngΟι άνισοι κύκλοι και τέμνονται στα σημεία . Ο κύκλος

τέμνει τους άλλους στα σημεία και την προέκταση της κοινής χορδής στο .

Υπολογίστε τους λόγους ; α) : $\dfrac{AS}{AP}$ και β) : $\dfrac{CS}{CP}$ .

: Αποχρώντες λόγοι.png (20.14 KiB) Προβλήθηκε 1002 φορές

α) Τα σημεία O, B, K, S

είναι ομοκυκλικά: $\displaystyle S\widehat KO = S\widehat BO = O\widehat SB = O\widehat KB \Rightarrow S\widehat KO = A\widehat KO,$ άρα τα S, A, K

είναι συνευθειακά, ομοίως και τα P, A, O.

Από την προφανή τώρα ομοιότητα των OAS, KAP

είναι $\boxed{\dfrac{AS}{AP}=\dfrac{R}{r}}$

β) $\displaystyle S\widehat OA = A\widehat KP \Leftrightarrow S\widehat BC = P\widehat BC \Leftrightarrow$ $\boxed{CS=CP}$

Edit: Άρση απόκρυψης και λύση της άσκησης 10:05 am

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: Παρ Οκτ 12, 2018 9:15 pm Αποχρώντες λόγοι.pngΟι άνισοι κύκλοι και τέμνονται στα σημεία . Ο κύκλος

τέμνει τους άλλους στα σημεία και την προέκταση της κοινής χορδής στο .

Υπολογίστε τους λόγους ; α) : $\dfrac{AS}{AP}$ και β) : $\dfrac{CS}{CP}$ .

Με $\displaystyle D,Q$ τα αντιδιαμετρικά του $\displaystyle A$ ως προς τα $\displaystyle K,O$ θα είναι $\displaystyle \angle EPO = \angle ZSK = {90^0}$ ,επομένως

οι $\displaystyle SA,PA$ περνούν από τα $\displaystyle K,O$ αντίστοιχα

Έτσι, $\displaystyle \vartriangle OAS \simeq \vartriangle AKP \Rightarrow \boxed{\frac{{AS}}{{AP}} = \frac{R}{r}}$

Είναι $\displaystyle \angle Q = \angle D$ ως συμπληρώματα των ίσων γωνιών $\displaystyle {A_1},{A_2}$ , άρα $\displaystyle \angle SBC = CBP \Rightarrow CS = CP \Rightarrow \boxed{\frac{{CS}}{{CP}} = 1}$

: Αποχρώντες λόγοι.png (28.97 KiB) Προβλήθηκε 1005 φορές

#4

: Αποχρώντες λόγοι_a.png (26.98 KiB) Προβλήθηκε 994 φορές

Επειδή η

διχοτομεί τη γωνία $\widehat {BCP}$ και $\widehat \omega + \widehat \theta = 180^\circ$ θα είναι $\vartriangle CAK = \vartriangle CPK$ και άρα η

μεσοκάθετος στο

.

: Αποχρώντες λόγοι_b.png (43.31 KiB) Προβλήθηκε 994 φορές

Για τον ίδιο λόγο η

είναι μεσοκάθετος στο

και άρα

συνεπώς ο δεύτερος λόγοςς είναι

.

Έστω τώρα M,N

τα μέσα των $AS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AP$ αντίστοιχα . Τότε : $\boxed{\frac{{AS}}{{AP}} = \frac{{MA}}{{NP}} = \frac{R}{r}}$

Παρατήρηση : οι $SA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PA$ διέρχονται από τα $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,O$ αλλά αυτό δεν το χρησιμοποιώ .

Αποχρώντες λόγοι

Αποχρώντες λόγοι

Re: Αποχρώντες λόγοι

Re: Αποχρώντες λόγοι

Re: Αποχρώντες λόγοι

Μέλη σε σύνδεση