Εξίσωση με max 2

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2046
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Εξίσωση με max 2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Οκτ 16, 2018 12:44 pm

Με αφορμή αυτό.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 77&t=62801

Να λυθεί στο \mathbb{R}

η εξίσωση

4x\max(2x,\frac{1}{2x})\max(4x,\frac{1}{4x})\max(8x,\frac{1}{8x})\max(16x,\frac{1}{16x})=1



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10616
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εξίσωση με max 2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Οκτ 16, 2018 6:48 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Οκτ 16, 2018 12:44 pm
Να λυθεί στο \mathbb{R}

η εξίσωση

4x\max(2x,\frac{1}{2x})\max(4x,\frac{1}{4x})\max(8x,\frac{1}{8x})\max(16x,\frac{1}{16x})=1
Καλό.

Να την δυσκολέψουμε:

Δείξτε ότι στους θετικούς είναι

\displaystyle{4x\max(2x,\frac{1}{2x})\max(4x,\frac{1}{4x})\max(8x,\frac{1}{8x})\max(16x,\frac{1}{16x})\ge 8}.

Πότε έχουμε ισότητα;


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7946
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Εξίσωση με max 2

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Οκτ 17, 2018 10:27 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τρί Οκτ 16, 2018 6:48 pm
Καλό.

Να την δυσκολέψουμε:

Δείξτε ότι στους θετικούς είναι

\displaystyle{4x\max(2x,\frac{1}{2x})\max(4x,\frac{1}{4x})\max(8x,\frac{1}{8x})\max(16x,\frac{1}{16x})\ge 8}.

Πότε έχουμε ισότητα;

Χωρίζουμε το \mathbb{R}_{>0} στα διαστήματα  (0,\tfrac{1}{16}],[\tfrac{1}{16},\tfrac{1}{8}],[\tfrac{1}{8},\tfrac{1}{4}],[\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2}],[\tfrac{1}{2},\infty).

Σε κάθε ένα από αυτά τα διαστήματα η παράσταση είναι της μορφής Cx^r για κάποιες σταθερές C,r οπότε ελαχιστοποιείται σε ένα από τα δύο άκρα. Τα όρια στο 0 και στο +\infty είναι +\infty. Οι τιμές της παράστασης στα \tfrac{1}{16},\tfrac{1}{8},\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2} είναι 16,8,16,128 αντίστοιχα. (Αν δεν έχω κάνει κάποιο λάθος.)

Οπότε το ελάχιστο της παράστασης είναι το 8 το οποίο λαμβάνεται μόνο για x=1/8. (Δεν ελαχιστοποιείται ενδιάμεσα κάποιου διαστήματος διότι τότε θα έπρεπε να ήταν σταθερή και ίση με 8 σε αυτό το διάστημα. Κάτι που δεν συμβαίνει αφού τουλάχιστον στο ένα άκρο δεν είναι ίση με 8.)


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2046
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εξίσωση με max 2

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Οκτ 17, 2018 3:11 pm

Η δική μου λύση είναι η εξής:

Θέτουμε
f(x)=4x\max(2x,\frac{1}{2x})\max(4x,\frac{1}{4x})\max(8x,\frac{1}{8x})\max(16x,\frac{1}{16x}) x>0
Είναι
f(x)\geq 4x.\frac{1}{2x}.\frac{1}{4x}.8x.16x=64x(1)
και
f(x)\geq 4x.\frac{1}{2x}.\frac{1}{4x}.\frac{1}{8x}.16x=\frac{1}{x}(2)

Από (1) και (2) προκύπτει ότι
f(x)\geq max(64x,\frac{1}{x})

Από την τελευταία προκύπτει ότι f(x)\geq 8
(παίρνουμε τις περιπτώσεις x\geq \frac{1}{8},x\leq \frac{1}{8})

Ευκολα βλέπουμε ότι f(\frac{1}{8})=8

και f(x)> 8,x\neq \frac{1}{8}


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10616
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εξίσωση με max 2

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Οκτ 17, 2018 8:05 pm

Στο ίδιο μήκος κύματος αλλά λίγο πιο απλά: Επειδή ο ένας από τους 8x, \frac {1}{8x} είναι μεγαλύτερος ή ίσος της μονάδας ακριβώς όταν ο άλλος είναι μικρότερος ή ίσος της μονάδας, έχουμε \max(8x,\frac{1}{8x}) \ge 1. Άρα

4x\max(2x,\frac{1}{2x})\max(4x,\frac{1}{4x})\max(8x,\frac{1}{8x})\max(16x,\frac{1}{16x}) \ge 4x\cdot \frac{1}{2x} \cdot \frac{1}{4x}\cdot 1 \cdot 16x =8


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης