Εδώ η μετρική , εκεί η ομοιότητα.

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλό βράδυ.Προσωπική σύνθεση , με στήριξη βεβαίως από το ..παρελθόν.

: 17-10-18 Μετρική δίνει ομοιότητα.PNG (14.11 KiB) Προβλήθηκε 1158 φορές

Θεωρούμε τρίγωνο ABC

και

το μέσον της

. Ας είναι $E \in AB$ και $Z \in AC$ ώστε $EZ \parallel BC$ .

Οι EM,BZ

τέμνονται στο

. Φέρουμε $PN\perp AC..N \in AC$ και τον κύκλο των M,E,N

που τέμνει την

και στο

.

Αν στο τρίγωνο MEN

ισχύει η μετρική σχέση : $MN^{2}=ME^{2}+MN\cdot EN$ τότε

Να εξεταστεί η ομοιότητα των τριγώνων ZEN , MIC

.
Ευχαριστώ , Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 17, 2018 10:48 pm
Καλό βράδυ.Προσωπική σύνθεση , με στήριξη βεβαίως από το ..παρελθόν.
17-10-18 Μετρική δίνει ομοιότητα.PNG
Θεωρούμε τρίγωνο και το μέσον της . Ας είναι $E \in AB$ και $Z \in AC$ ώστε $EZ \parallel BC$ .

Οι τέμνονται στο . Φέρουμε $PN\perp AC..N \in AC$ και τον κύκλο των που τέμνει την και στο .

Αν στο τρίγωνο ισχύει η μετρική σχέση : $MN^{2}=ME^{2}+MN\cdot EN$ τότε

Να εξεταστεί η ομοιότητα των τριγώνων .
Ευχαριστώ , Γιώργος.

Καλημέρα Γιώργο!

Έχει αποδειχθεί εδώ η ισοδυναμία $\boxed{{a^2} = ab + {c^2} \Leftrightarrow \widehat A = 90^\circ + \frac{{\widehat C}}{2}}$

: Μετρική δίνει ομοιότητα.png (17.92 KiB) Προβλήθηκε 1065 φορές

Τα τρίγωνα ZEN , MIC

έχουν από παραλληλία $N\widehat ZE=\widehat C.$ Για να είναι όμοια θα πρέπει $M\widehat IC=E\widehat NZ.$ Αλλά, από

το εγγεγραμμένο τετράπλευρο ENIM

και τη σχέση της παραπομπής, είναι $\displaystyle M\widehat IC = M\widehat EN = 90^\circ + \frac{{E\widehat NM}}{2}$

Επειδή όμως $\displaystyle E\widehat NZ = 90^\circ + \theta,$ αρκεί να δειχτεί ότι η

είναι διχοτόμος της $E\widehat NM.$

Συνεχίζεται. Θα επανέλθω για την απόδειξη της διχοτόμου...

#3

...Συνέχεια. Θα αποδείξω την παρακάτω πρόταση:

είναι σημεία των πλευρών αντίστοιχα, τριγώνου ώστε και έστω το μέσο της

Η τέμνει την στο Αν $PN\bot AC,$ τότε η είναι διχοτόμος της $E\widehat NM.$

: Μετρική δίνει ομοιότητα.β.png (18.24 KiB) Προβλήθηκε 1027 φορές

α) Αν

(Σχ.1), τότε τα E, Z

είναι μέσα των AB, AC

και το

είναι παραλληλόγραμμο, οπότε

είναι μέσο του EM.

Αλλά, λόγω παραλληλίας $NP\bot EM,$ άρα η

είναι διχοτόμος της $E\widehat NM.$

β) Αν οι EM, CA

τέμνονται στο

(Σχ.2), τότε $\displaystyle \frac{{EP}}{{PM}} = \frac{{EZ}}{{BM}} = \frac{{EZ}}{{MC}} = \frac{{TE}}{{TM}},$ άρα τα P, T

είναι

συζυγή αρμονικά των E, M

κι επειδή $PN\bot TC,$ η

είναι διχοτόμος της $E\widehat NM.$

Γιώργος Μήτσιος · #4

Καλημέρα. Σ' ευχαριστώ πολύ Γιώργο για την πλήρη (απο)κάλυψη ..

.. του παρόντος θέματος !!
Τα δύο θέματα- βάση για τη δημιουργία του - είναι βεβαίως αυτό που παραπέμπει ο Γιώργος
κι' ένα παλαιότερο από τον Μπάμπη, ΕΔΩ..Φιλικά Γιώργος.

Εδώ η μετρική , εκεί η ομοιότητα.

Εδώ η μετρική , εκεί η ομοιότητα.

Re: Εδώ η μετρική , εκεί η ομοιότητα.

Re: Εδώ η μετρική , εκεί η ομοιότητα.

Re: Εδώ η μετρική , εκεί η ομοιότητα.

Μέλη σε σύνδεση