Εμβαδόν από το πουθενά

sakis1963 · #1

: GEOMETRIA209.png (18.04 KiB) Προβλήθηκε 1211 φορές

Εστω τρίγωνο (AB, AC, BC)=(3, 4, 5)

.

Κινητό ξεκινά από σημείο

, της

και κινούμενο σε ευθεία, συναντά την

στο σημείο

.

Αν καθ' όλη τη διαδρομή του

, το άθροισμα των αποστάσεων της τρέχουσας θέσης (σημείου) από τις AB, AC, BC

παραμένει σταθερό,

βρείτε το εμβαδόν του ABED

Γιώργος Μήτσιος · #2

Καλημέρα.Γεια σου Σάκη , τους χαιρετισμούς μου στο Κιάτο ! Ελκυστικό βεβαίως το παρόν θέμα , ικανό να σε ..αιχμαλωτίσει !

: Εμβαδόν από το πουθενά S.K.PNG (7.39 KiB) Προβλήθηκε 1183 φορές

Στο σχήμα είναι $DZ,MN \perp BC$ , $EQ,MK \perp AB$ και $EP,ML\perp AC$

Δίνεται EP+EQ=DA+DZ= S

Μπορούμε να δείξουμε CE=2CD ..(1)

και

για το τυχαίο $M \in DE ..(2)$ (*)

Τότε $\left ( DEC \right )=CD\cdot CE\cdot \eta \mu \widehat{C}=\dfrac{3CD^{2}}{5}$ , οπότε $\left ( ABED \right )=\left ( BAC \right )-\left ( DEC \right ) =6-\dfrac{3CD^{2}}{5}$

(*) Επανέρχομαι για τις αποδείξεις

και

.
Έχουμε $EP+EQ=DA+DZ \Leftrightarrow EP+AP=AP+DP+DZ\Leftrightarrow EP=DP+DZ..(3)$

Έστω $CE=\lambda CD$ . Τότε $EP=3CE/5=3\lambda CD/5$ και $DP=CP-CD=4CE/5-CD=4\lambda CD/5-CD=(4\lambda -5)CD/5$

ενώ DZ=3CD/5

. Άρα $(3) \Leftrightarrow 3 \lambda CD/5=(4\lambda-5) CD/5 +3CD/5\Leftrightarrow ..\Leftrightarrow \lambda =2$ δηλ. CE=2CD

Στη συνέχεια θα δείξουμε ZE=2DZ

και ότι τα τρίγωνα DEZ, DML

είναι όμοια. Έχουμε ZE=CE-CZ =2CD-4CD/5=6CD/5

άρα

αλλά και $DP=(4\lambda -5)CD/5=3CD/5=DZ$ αφού $\lambda =2$ .

Θέλουμε να δείξουμε
$MK+ML+MN=DA+DZ \Leftrightarrow LA+MN+ML=LA+LD+DZ$ $\Leftrightarrow ML+MN=DL+DZ ..(4)$

Τα τρίγωνα DEZ,DEP

είναι ίσα οπότε $\widehat{DML}=\widehat{DEP}=\widehat{DEZ}$ δηλ. τα τρίγωνα DML,DEZ

είναι όμοια επομένως ML=2DL=2(1-k)DZ

.

Ας είναι MN=kDZ

, τότε $\dfrac{ME}{DE}=\dfrac{MN}{DZ}=k \Rightarrow \dfrac{DM}{DE}=1-k$ οπότε $\dfrac{DL}{DP}= \dfrac{DM}{DE}=1-k\Rightarrow DL=(1-k)DP=(1-k)DZ$

και επομένως $(4)\Leftrightarrow 2(1-k)DZ +kDZ=(1-k)DZ +DZ \Leftrightarrow 2-k=2-k$ που ισχύει.

Άρα καθώς το

διατρέχει την

(όπου

)
το άθροισμα των αποστάσεών του από τις 3 πλευρές παραμένει σταθερά ίσο με S= AD +DZ

επομένως , αν το ερμηνεύω σωστά
ικανοποιείται η υπόθεση που γράφει ο Σάκης :
<< Αν καθ' όλη τη διαδρομή του DE, το άθροισμα των αποστάσεων της τρέχουσας θέσης (σημείου) από τις AB, AC, BC παραμένει σταθερό..>>
.

Το ζητούμενο εμβαδόν -εφόσον δεν υπάρχει λάθος στα παραπάνω - εκφράζεται ως συνάρτηση του μήκους του

.

Για να είναι αριθμητικό αποτέλεσμα πρέπει το

να είναι σε μοναδική θέση πάνω στην

.
Πιθανόν ο Σάκης με την ως άνω διατύπωση να εννοεί κάτι επιπλέον που δεν έχει αξιοποιηθεί..

Φιλικά , Γιώργος.

sakis1963 · #3

Γεια σου, Γιώργο και σε ευχαριστώ που καταπιάστηκες με το πρόβλημά μου.

Για να πέσει λίγο φως, ίσως θα πρεπε να λύσουμε ένα παλιό πρόβλημα κατασκευής, πρώτα:

''Σε τυχαίο τρίγωνο ABC (AC>AB>BC)

κατασκευάστε τέμνουσα PQ (P, Q

στην

ώστε το άθροισμα των αποστάσεων οποιουδήποτε σημείου της από τις 3 πλευρές του ABC

να είναι σταθερό''

Από την λύση της παραπάνω κατασκευής, προκύπτει ότι το

είναι μοναδικό.

Εφαρμόζοντας πλέον την ''κατασκευή'' στο αρχικό πρόβλημα, το

είναι μοναδικό και πλέον το ζητούμενο εμβαδόν είναι υπολογιστέο.

Φιλικά,
Σάκης

ΥΓ. Είμαι μακριά από την έδρα μου και τα ''εργαλεία'' μου. Είναι πολύ πιθανόν, ο Γιώργος να 'χει δίκιο και να έχουμε πέσει σε μια μορφή ''απροσδιοριστίας'' ή ''γραμμικής εξάρτησης'', λόγω το ότι το 3-4-5 είναι ορθογώνιο και όχι ''τυχαίο'' - και πλέον όλες οι τέμνουσες // με τη

έχουν την ιδιότητα του ''σταθερού αθροίσματος''. Αν πράγματι είναι έτσι, ζητώ συγγνώμη εκ προοιμίου, πρωτίστως απ'τον φίλο Γιώργο αλλά και όποιον άλλο ασχολήθηκε.
Βέβαια, σκοπός μου δεν ήταν να σας ''παιδέψω'', αλλά με έμμεσο τρόπο να φέρω στην επιφάνεια την παραπάνω παλιά κατασκευή, που νομίζω είναι ενδιαφέρουσα.

#4

sakis1963 έγραψε: ...''Σε τυχαίο τρίγωνο κατασκευάστε τέμνουσα στην ώστε το άθροισμα των αποστάσεων οποιουδήποτε σημείου της από τις 3 πλευρές του να είναι σταθερό'' ...

Δείτε και Εδώ, την εκτεταμένη συζήτηση για το ενδιαφέρον αυτό πρόβλημα.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Δεν είναι απαραίτητο τα άκρα του τμήματος

να ανήκουν στις δύο μεγαλύτερες πλευρές του δοσμένου τριγώνου.

sakis1963 · #5

: Timmermans' Problem.png (348.68 KiB) Προβλήθηκε 1069 φορές

Μετά και την παρέμβαση του φίλου Κώστα, οφείλω να δώσω και την πηγή της "έμπνευσης"

από τον ΙΙΙ τόμο της ελληνικής μετάφρασης της Γεωμετρίας των Ιησουιτών

Γιώργος Μήτσιος · #6

Καλημέρα σε όλους !
Μετά τα άκρως ενδιαφέροντα που προηγήθηκαν ας δούμε μια (αριθμητική) εφαρμογή του αρχικού προβλήματος

: 9-11 Εμβαδόν από το πουθενά !.PNG (7.14 KiB) Προβλήθηκε 1036 φορές

Αν θεωρήσουμε ( ..όχι τυχαία ) το εν λόγω σταθερό άθροισμα $S=\dfrac{18}{5}$ και CD=x

τότε

οπότε $AD+DZ=S \Rightarrow 4-x+3x/5=18/5\Leftrightarrow CD=x=1$

και από τη σχέση $\left ( ABED \right )= 6-\dfrac{3CD^{2}}{5}$ της α' ανάρτησής μου προκύπτει $\left ( ABED \right )=6-\dfrac{3}{5}=\dfrac{27}{5}$

το οποίο Σάκη , είμαι ..

..(σχεδόν) βέβαιος ότι είναι το αποτέλεσμα που ζητούσες !

Ένα μεγάλο ευχαριστώ και στον Κώστα για το "παράθυρο γνώσης" που μας άνοιξε !
Φιλικά Γιώργος.

#7

sakis1963 έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 06, 2018 10:45 pm
GEOMETRIA209.png
Εστω τρίγωνο .

Κινητό ξεκινά από σημείο , της και κινούμενο σε ευθεία, συναντά την στο σημείο .

Αν καθ' όλη τη διαδρομή του , το άθροισμα των αποστάσεων της τρέχουσας θέσης (σημείου) από τις παραμένει σταθερό,

βρείτε το εμβαδόν του

Μία διευκρίνηση:

"το άθροισμα των αποστάσεων της τρέχουσας θέσης (σημείου) από τις AB, AC, BC

παραμένει σταθερό"

Τι σταθερό; π.χ. σταθερό και δοσμένο;

#8

sakis1963 έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 08, 2018 8:14 pm
Timmermans' Problem.png

Μετά και την παρέμβαση του φίλου Κώστα, οφείλω να δώσω και την πηγή της "έμπνευσης"

από τον ΙΙΙ τόμο της ελληνικής μετάφρασης της Γεωμετρίας των Ιησουιτών

: 1.png (244.37 KiB) Προβλήθηκε 960 φορές

Ελλιπής (;) αντιμετώπιση! Στην πραγματικότητα κάθε ευθεία παράλληλη στην ΔΕ μας κάνει.

#9

Όμως Κώστα, μιλάμε για κάτι λιγότερο από διακόσια χρόνια πριν!

Εντύπωση βέβαια προκαλεί και θα είχε ενδιαφέρον να δει κάποιος, αυτό που αναφέρεται πιο κάτω για την διερεύνηση.

..."ενδιαφέρουσα και μακρά"...

Κώστας Βήττας.

#10

Κώστα και λοιποί αγαπητοί φίλοι,

αν δούμε την λύση αυστηρά είναι ακριβέστατη! Το πρόβλημα ζητά να κατασκευαστεί ευθεία (τώρα στην γεωμετρία της "αφής" πολλές φορές η ευθεία σημαίνει ευθύγραμμο τμήμα) η οποία έχει μία ιδιότητα. Και με αρχαιοελληνικό τρόπο μας λέει:

"Ορίστε, θέλεις, κατά την εκφώνηση, μία ευθεία; Πάρτην! Είναι η ΔΕ! Να και η απόδειξη ότι έχει την εν λόγω ιδιότητα"

Όλα καλά. Η ένστασή προκύπτει στην συνέχεια που μιλάει για διερεύνηση. Στην πραγματικότητα διερευνά την ύπαρξη ευθειών ανάλογης κατασκευής με την ΔΕ. Εδώ φαίνεται ότι δεν έχει ιδέα για τις υπόλοιπες ευθείες που υπάρχουν.

Βέβαια, ναι, πάνε διακόσια χρόνια. Κανείς δεν μέμφεται κανέναν. Απεναντίας. Η λύση είναι ευφυέστατη. Διαφωνώ αλλά τέρπομαι! Τέλος αυτό που λέει για τα πρόσημα είναι ακριβώς τα πρόσημα των τριγραμμικών συντεταγμένων!!

Εμβαδόν από το πουθενά

Εμβαδόν από το πουθενά

Re: Εμβαδόν από το πουθενά

Re: Εμβαδόν από το πουθενά

Re: Εμβαδόν από το πουθενά

Re: Εμβαδόν από το πουθενά

Re: Εμβαδόν από το πουθενά

Re: Εμβαδόν από το πουθενά

Re: Εμβαδόν από το πουθενά

Re: Εμβαδόν από το πουθενά

Re: Εμβαδόν από το πουθενά

Μέλη σε σύνδεση