Θα χρησιμοποιήσουμε το εξής λήμμα:Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Παρ Ιαν 12, 2018 4:09 pm
ΑΣΚΗΣΗ 27
Δείξτε ότι αν ο αριθμός είναι πρώτος, τότε για κάποιο φυσικό .
Αν ο δε διαιρείται με το τότε το πολυώνυμο διαιρείται από το
Απόδειξη
Αν τότε άρα
διότι
Όμοια αν τότε και παίρνουμε και πάλι ότι
Επιστρέφουμε στην άσκηση:
Από το παραπάνω λήμμα αν ο δεν διαιρείται από το τότε για παίρνουμε ότι ο διαιρείται από το άρα δεν είναι πρώτος.
Άρα για να είναι ο πρώτος πρέπει ο να διαιρείται από το . Αν όπου η μεγαλύτερη δύναμη του που υπάρχει στο (δηλαδή ) τότε με όμοιο επιχείρημα επειδή ο αριθμός είναι πρώτος πρέπει ο να διαιρείται από το (από το παραπάνω Λήμμα), άτοπο. Άρα και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Αλέξανδρος