Μέγιστη τιμή

Γιώργος Μήτσιος · #1

Χαιρετώ.
Αν είναι $0< x < \dfrac{\pi }{2}$ τότε να βρεθεί η μέγιστη τιμή των $S= \eta \mu x\ + \sigma \upsilon \nu x$ και $P= \eta \mu x\cdot \sigma \upsilon \nu x$

Το θέμα έχει πιθανότατα καλυφθεί. Θα πρότεινα οι παραπομπές σε λύσεις να καθυστερήσουν λίγο ,
ώστε να δούμε πρώτα κάποιες απαντήσεις και ( γιατί όχι) νέες ιδέες-λύσεις! .
Σας ευχαριστώ , Γιώργος.

#2

Kαλησπέρα σε όλους. Ας συμμαζέψουμε αρκετές διαφορετικές προσεγγίσεις. Ξεκινώ με την πλέον αναμενόμενη (φαντάζομαι) προσέγγιση.

Είναι $\displaystyle S = \eta \mu x\; + \sigma \upsilon \nu x = \sqrt 2 \eta \mu \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)$ με το μέγιστο, που είναι $\displaystyle \sqrt 2$ , να επιτυγχάνεται όταν $\displaystyle \eta \mu \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1$ , που, για $\displaystyle x \in \left( {0,\;\frac{\pi }{2}} \right)$ , προκύπτει όταν $\displaystyle x = \frac{\pi }{4}$ .

Είναι $\displaystyle P = \eta \mu x\cdot\sigma \upsilon \nu x = \frac{1}{2}\eta \mu 2x$ με το μέγιστο, που είναι $\displaystyle \frac{1}{2}$ ,να επιτυγχάνεται όταν $\displaystyle \eta \mu 2x = 1$ , που, για $\displaystyle x \in \left( {0,\;\frac{\pi }{2}} \right)$ προκύπτει όταν $\displaystyle x = \frac{\pi }{4}$ .

#3

Για να παρακινήσω το ενδιαφέρον των αγαπητών φίλων, δίνω άλλη μία, ίσως όχι από τις πλέον δημοφιλείς.

: 24-11-2018 Mέγιστο.png (27.62 KiB) Προβλήθηκε 1754 φορές

Έστω $\displaystyle {\rm M}\left( {\sigma \upsilon \nu x,\;\eta \mu x} \right),\;\;x \in \left( {0,\;\frac{\pi }{2}} \right)$ σημείο στο 1ο τεταρτοκύκλιο του μοναδιαίου κύκλου.

Τότε η περίμετρός του δίνεται από τον τύπο $\displaystyle \Pi = \eta \mu x\; + \sigma \upsilon \nu x + 1$ .

Από όλα τα ορθογώνια τρίγωνα με σταθερή υποτείνουσα, μέγιστη περίμετρο έχει το ισοσκελές,(*) οπότε το μέγιστο του $\displaystyle \Pi$ , άρα και του $\displaystyle S = \eta \mu x\; + \sigma \upsilon \nu x$ επιτυγχάνεται όταν $\displaystyle x = \frac{\pi }{4}$ .

Το εμβαδόν του δίνεται από τον τύπο $\displaystyle {\rm E} = \frac{{\eta \mu x \cdot \sigma \upsilon \nu x}}{2}$ .

Από όλα τα ορθογώνια τρίγωνα με σταθερή υποτείνουσα, μέγιστο εμβαδόν έχει το ισοσκελές,(*) οπότε το μέγιστο του E, άρα και του $\displaystyle P = \eta \mu x \cdot \sigma \upsilon \nu x$ επιτυγχάνεται όταν $\displaystyle x = \frac{\pi }{4}$ .

(*) Οι αποδείξεις προτείνονται ως μαθητική άσκηση, (απ’ αυτές που δίνουν αληθινό νόημα στη δουλειά μας στις τάξεις).

#4

Καλησπέρα σε όλους!

To ABC

είναι ορθογώνιο τρίγωνο με $\widehat A=90^\circ$

: Μέγιστη τιμή.png (8.76 KiB) Προβλήθηκε 1754 φορές

● $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} {b^2} + {c^2} \ge 2bc\\ {a^2} = {b^2} + {c^2} \end{array} \right.\mathop \Rightarrow \limits^ \oplus 2{a^2} \ge {(b + c)^2} \Leftrightarrow \frac{{b + c}}{a} \le \sqrt 2 \Leftrightarrow \eta \mu x + \sigma \upsilon \nu x \le \sqrt 2$

με την ισότητα να ισχύει όταν b=c,

δηλαδή $\displaystyle x = \frac{\pi }{4}$

● $\displaystyle \eta \mu x\sigma \upsilon \nu x = \frac{{bc}}{{{a^2}}} = \frac{{a{h_a}}}{{{a^2}}} = \frac{{{h_a}}}{a} \le \frac{{{m_a}}}{a} = \frac{1}{2},$ με την ισότητα να ισχύει όταν m_a=h_a,

δηλαδή $\displaystyle x = \frac{\pi }{4}$

harrisp · #5

Για το πρώτο και με διανύσματα:
Εστω τα διανύσματα $\overrightarrow a=(\sin x, \cos x),\overrightarrow b=(1,1)$ . Είναι $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\leq |\overrightarrow a||\overrightarrow b|=\sqrt 2$

#6

Καλησπέρα σε όλους. Μια ακόμα κομψή γεωμετρική, κατά το ήμισυ διαφορετική από τη λύση του Γιώργου.

: 25-11-2018 Γεωμετρία b.jpg (26.67 KiB) Προβλήθηκε 1673 φορές

Έστω $\displaystyle \widehat B = x$ σε ορθογώνιο τρίγωνο ABC

με υποτείνουσα

,

ύψος στην υποτείνουσα και $\displaystyle {\mu _a} = \frac{a}{2}$ διάμεσο στην υποτείνουσα.

Τότε $\displaystyle P = \eta \mu x \cdot \sigma \upsilon \nu x = \frac{b}{a} \cdot \frac{c}{a} = \frac{{bc}}{{{a^2}}} = \frac{{a \cdot {u_a}}}{{{a^2}}} = \frac{{{u_a}}}{a} \le \frac{{{\mu _a}}}{a} = \frac{1}{2}$ , με το ίσον όταν το ύψος ταυτίζεται με τη διάμεσο, δηλαδή όταν είναι ισοσκελές.

Είναι $\displaystyle S = \eta \mu x\; + \sigma \upsilon \nu x = \frac{b}{a} + \frac{c}{a} = \frac{{b + c}}{a}$ .

Είναι $\displaystyle {\left( {\frac{{b + c}}{a}} \right)^2} = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{2bc}}{{{a^2}}} = 1 + \frac{{2bc}}{{{a^2}}}$ . Όταν το $\displaystyle \frac{{bc}}{{{a^2}}}$ γίνεται μέγιστο, τότε γίνεται μέγιστο και το $\displaystyle {\left( {\frac{{b + c}}{{{a^2}}}} \right)^2}$

με τιμή $\displaystyle {\left( {\frac{{b + c}}{{{a^2}}}} \right)^2}_{\max } = 1 + 2 \cdot \frac{1}{2} = 2$ , άρα και το $\displaystyle {\left( {\frac{{b + c}}{{{a}}}} \right)}$ με μέγιστη τιμή $\displaystyle \sqrt 2$ .

#7

Και μια με πιο "σύγχρονα" εργαλεία.

Έστω $\displaystyle f\left( x \right) = \eta \mu x\; + \sigma \upsilon \nu x,\;\;x \in \left( {0,\,\;\frac{\pi }{2}} \right)$

H συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη με $\displaystyle f'\left( x \right) = \sigma \upsilon \nu x - \eta \mu x$ .

Είναι $\displaystyle \sigma \upsilon \nu x = \eta \mu x \Leftrightarrow \varepsilon \varphi x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4}$ .

Με πίνακα προσήμων παραγώγου βρίσκουμε ότι $\displaystyle f'\left( x \right) > 0$ για $\displaystyle x \in \left( {0,\;\frac{\pi }{4}} \right)$ , $\displaystyle f'\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0$ , $\displaystyle f'\left( x \right) < 0$ για $\displaystyle x \in \left( {\frac{\pi }{4},\;\frac{\pi }{2}} \right)$ , άρα έχει μέγιστο όταν $\displaystyle x = \frac{\pi }{4}$ με τιμή $\displaystyle f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \eta \mu \frac{\pi }{4}\; + \sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{4} = \sqrt 2$ .

Έστω $\displaystyle g\left( x \right) = \eta \mu x \cdot \sigma \upsilon \nu x,\;\;x \in \left( {0,\,\;\frac{\pi }{2}} \right)$

H συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη με $\displaystyle g'\left( x \right) = \sigma \upsilon {\nu ^2}x - \eta {\mu ^2}x$ .

Όπως παραπάνω, με πίνακα προσήμων παραγώγου βρίσκουμε ότι έχει μέγιστο όταν $\displaystyle \sigma \upsilon {\nu ^2}x = \eta {\mu ^2}x \Leftrightarrow \varepsilon {\varphi ^2}x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4}$ με τιμή $\displaystyle g\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \eta \mu \frac{\pi }{4}\; \cdot \sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{4} = \frac{1}{2}$ .

Γιώργος Μήτσιος · #8

Καλό βράδυ. Ευχαριστώ τους συνονόματους και τον Χάρη για την συμβολή τους με τις κομψές απαντήσεις!
Ας δούμε μία ακόμη με χρήση του τριγωνομετρικού κύκλου

: Μέγιστη τιμή.PNG (8.81 KiB) Προβλήθηκε 1615 φορές

Η

διχοτομεί την $\widehat{AOB}=90^{0}$ και το τετράγωνο OPMH

έχει πλευρά ίση με $\sqrt{2}/2$ .

Έστω $\widehat{AON}=x$ με $\dfrac{\pi }{4}< x< \dfrac{\pi }{2}$ (όμοια η απόδειξη για $0< x< \dfrac{\pi }{4}$ )

Τότε $S=\eta \mu x +\sigma \upsilon \nu x=ZN+OZ = ZE+EN +OH -ZH=\sqrt{2}+EN-EM< \sqrt{2}$ αφού :

Στο ορθογώνιο τρίγωνο MEN

η $\widehat{M}$ είναι εγγεγραμμένη στο τόξο

που είναι μικρότερο του τεταρτοκυκλίου άρα $\widehat{EMN}< 45^{0}$ δηλ EN< EM

.
$S_{max}=MH+OH=\sqrt{2}$ όταν $x=\dfrac{\pi }{4}$ .

Όπως στην άσκηση 1 της Β' ομάδας στην ενότητα 3.2 του σχολικού , παίρνουμε $P=\dfrac{S^{2}-1}{2}$ άρα $0< S\leq \sqrt{2}\Rightarrow P=\dfrac{S^{2}-1}{2}\leq \dfrac{1}{2}$

$P_{max}= \dfrac{1}{2}$ όταν $S=S_{max}$ για $x=\dfrac{\pi }{4}$ . Φιλικά Γιώργος.

takare · #9

Εύκολα αποδεικνύεται ότι στο $\mathbb\mathbb{\mathbb{R}$ ισχύει : $\left | \alpha \sin \χx +\beta \cos \\x \right |\leqslant\sqrt{\alpha^{2}+\beta ^{2}}$ $\left ( 1 \right )$ .
Άρα η μέγιστη τιμή της $f\left ( x \right )=\sin x+\cos x$ στο $\left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]$ είναι $\sqrt{2}$ που συμβαίνει όταν $\tan x=\frac{\alpha}{\beta }=1$ δηλαδή για $x=\frac{\pi }{4}$ . ( Από τη σχέση $\left ( 1 \right )$ συμπεραίνουμε ότι, όταν η $f\left ( x \right )=\alpha \sin x+\beta \cos x$ παρουσιάζει μέγιστο ή ελάχιστο στο $\mathbb{R}$ είναι $\tan x=\frac{\alpha}{\beta }$ )

KARKAR · #10

Αντιγράφω από την Γεωμετρία των Ιησουιτών ( μιλάμε για θετικούς αριθμούς ) :

Αρχή

η : Όταν το άθροισμα των τετραγώνων δύο αριθμών είναι σταθερό το άθροισμά τους

μεγιστοποιείται όταν αυτοί είναι ίσοι .

Αρχή

η : Όταν το άθροισμα των τετραγώνων δύο αριθμών είναι σταθερό το γινόμενό τους

μεγιστοποιείται όταν αυτοί είναι ίσοι .

Η απόδειξη εκεί γίνεται γεωμετρικά , ενώ υπάρχει και η αλγεβρική απόδειξη των παραπάνω με χρήση

των ταυτοτήτων : (x+y)^2+(x-y)^2=2(x^2+y^2)

και $xy=\dfrac{1}{2}(x^2+y^2-(x-y)^2)$

(υπήρχαν σε παλιότερη έκδοση του βιβλίου Άλγεβρας της Α' Λυκείου ) .

Επειδή λοιπόν : sin^2x+cos^2x=1

, για τα μέγιστα παίρνουμε :

$(sinx+cosx)_{max}=\sqrt{2}$ και $(sinx\cdot cosx)_{max}=\dfrac{1}{2}$ , αμφότερα για :

$sinx=cosx=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , δηλαδή για $x=\dfrac{\pi}{4}$ .

KARKAR · #11

Ας δώσουμε τώρα και μια παραπομπή : Δείτε λοιπόν και αυτές

Μέγιστη τιμή

Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Μέλη σε σύνδεση