Ταυτότητα με άρρητους

#1

Την κεντρική ιδέα για την παρακάτω άσκηση την έχουμε δει πολλές φορές στο φόρουμ. Τώρα προσθέτω ένα βηματάκι ακόμη.

Έστω φυσικός. Δείξτε ότι υπάρχει φυσικός με $\displaystyle{(\sqrt 2+ 1)^n=\sqrt N + \sqrt {N+1}}$

Ας την αφήσουμε

ώρες για τους μαθητές μας.

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 27, 2018 8:00 pm
Την κεντρική ιδέα για την παρακάτω άσκηση την έχουμε δει πολλές φορές στο φόρουμ. Τώρα προσθέτω ένα βηματάκι ακόμη.

Έστω φυσικός. Δείξτε ότι υπάρχει φυσικός με $\displaystyle{(\sqrt 2+ 1)^n=\sqrt N + \sqrt {N+1}}$

Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές μας.

Είναι: $\left ( \sqrt{2}+1 \right )^{n}=\sqrt{N}+\sqrt{N+1}\Leftrightarrow \left ( \sqrt{2}+1 \right )^{2n}=\left ( \sqrt{N}+\sqrt{N+1} \right )^{2}\Leftrightarrow\left ( \left ( \sqrt{2}+1 \right )^{2} \right )^{n}=\left ( N+2\sqrt{N\left ( N+1 \right )}+N+1 \right )^{2}\Leftrightarrow .. \left ( 2+2\sqrt{2}+1 \right )^{n}=\left ( 2N+2\sqrt{N\left ( N+1 \right )}+1 \right )$
Παρατηρούμε πως για n=1

και

η ισότητα αληθεύει.
Άρα υπάρχει o

. (διορθώστεμε αν ήμουν ημιτελής)

Tolaso J Kos · #3

Ερώτηση: Δε θα μπορούσαμε απλά να πούμε για n=N=1

ισχύει ως ισότητα. Και απλά να μη προσθέσουμε τίποτα άλλο; Δείξαμε αυτό που θέλει η άσκηση... !!

#4

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 27, 2018 11:53 pm
Είναι: $\left ( \sqrt{2}+1 \right )^{n}=\sqrt{N}+\sqrt{N+1}\Leftrightarrow \left ( \sqrt{2}+1 \right )^{2n}=\left ( \sqrt{N}+\sqrt{N+1} \right )^{2}\Leftrightarrow\left ( \left ( \sqrt{2}+1 \right )^{2} \right )^{n}=\left ( N+2\sqrt{N\left ( N+1 \right )}+N+1 \right )^{2}\Leftrightarrow .. \left ( 2+2\sqrt{2}+1 \right )^{n}=\left ( 2N+2\sqrt{N\left ( N+1 \right )}+1 \right )$
Παρατηρούμε πως για και η ισότητα αληθεύει.
Άρα υπάρχει o .

Αν είναι να βάλεις n=1, N=1

γιατί δεν το έβαλες στην αρχική, δηλαδή την $\displaystyle{(\sqrt 2+ 1)^n=\sqrt N + \sqrt {N+1}}$ , αλλά έπρεπε να κάνεις έναν κυκεώνα πράξεων μέχρι να φτάσεις στην σαφώς δυσκολότερη παράσταση $\displaystyle{ \left ( 2+2\sqrt{2}+1 \right )^{n}=2N+2\sqrt{N\left ( N+1 \right )}+1 }$ και να βάλεις εκεί n=1, N=1

. Χάνουμε την ουσία.

Αυτό που έχει μεγαλύτερη σημασία είναι ότι η λύση είναι πάρα πολλή προβληματική. Πρώτα απ' όλα το

δίνεται στην άσκηση. Δεν το επιλέγουμε εμείς. Με απλά λόγια, αν σου δώσω ένα

, όποιο και να είναι όπως n=100

ή

ή οποιοδήποτε άλλο, δείξε ότι υπάρχει

που εξαρτάται από το εκάστοτε

έτσι ώστε να ισχύει η δοθείσα ταυτότητα.

Αν δεν είναι κατανοητά αυτά που γράφω, θα συνιστούσα να ρωτούσες τον Μαθηματικό σου στο Σχολείο για να σου εξηγήσει γιατί είναι τόσο λάθος ο συλλογισμός σου. Εδώ είμαστε για να σε βοηθήσουμε να βελτιώνεσαι, και θα το κάνουμε με χαρά.

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 28, 2018 12:19 am

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 27, 2018 11:53 pm
Είναι: $\left ( \sqrt{2}+1 \right )^{n}=\sqrt{N}+\sqrt{N+1}\Leftrightarrow \left ( \sqrt{2}+1 \right )^{2n}=\left ( \sqrt{N}+\sqrt{N+1} \right )^{2}\Leftrightarrow\left ( \left ( \sqrt{2}+1 \right )^{2} \right )^{n}=\left ( N+2\sqrt{N\left ( N+1 \right )}+N+1 \right )^{2}\Leftrightarrow .. \left ( 2+2\sqrt{2}+1 \right )^{n}=\left ( 2N+2\sqrt{N\left ( N+1 \right )}+1 \right )$
Παρατηρούμε πως για και η ισότητα αληθεύει.
Άρα υπάρχει o .
Αν είναι να βάλεις γιατί δεν το έβαλες στην αρχική, δηλαδή την $\displaystyle{(\sqrt 2+ 1)^n=\sqrt N + \sqrt {N+1}}$ , αλλά έπρεπε να κάνεις έναν κυκεώνα πράξεων μέχρι να φτάσεις στην σαφώς δυσκολότερη παράσταση $\displaystyle{ \left ( 2+2\sqrt{2}+1 \right )^{n}=2N+2\sqrt{N\left ( N+1 \right )}+1 }$ και να βάλεις εκεί . Χάνουμε την ουσία.

Αυτό που έχει μεγαλύτερη σημασία είναι ότι η λύση είναι πάρα πολλή προβληματική. Πρώτα απ' όλα το δίνεται στην άσκηση. Δεν το επιλέγουμε εμείς. Με απλά λόγια, αν σου δώσω ένα , όποιο και να είναι όπως ή ή οποιοδήποτε άλλο, δείξε ότι υπάρχει που εξαρτάται από το εκάστοτε έτσι ώστε να ισχύει η δοθείσα ταυτότητα.

Αν δεν είναι κατανοητά αυτά που γράφω, θα συνιστούσα να ρωτούσες τον Μαθηματικό σου στο Σχολείο για να σου εξηγήσει γιατί είναι τόσο λάθος ο συλλογισμός σου. Εδώ είμαστε για να σε βοηθήσουμε να βελτιώνεσαι, και θα το κάνουμε με χαρά.

Κατανοώ απόλυτα τι λέτε. Ωστόσο θα συμβουλευτώ και τον μαθηματικό μου.

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 27, 2018 8:00 pm
Την κεντρική ιδέα για την παρακάτω άσκηση την έχουμε δει πολλές φορές στο φόρουμ. Τώρα προσθέτω ένα βηματάκι ακόμη.

Έστω φυσικός. Δείξτε ότι υπάρχει φυσικός με $\displaystyle{(\sqrt 2+ 1)^n=\sqrt N + \sqrt {N+1}}$

Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές μας.

Επαναφορά για όλους.

#7

Παρατηρούμε ότι $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=1=(\sqrt{N+1}+\sqrt{N})(\sqrt{N+1}-\sqrt{N})$ για οποιοδήποτε $N\geq 0$ .

Έτσι, αν $(\sqrt{2}+1)^n=\sqrt{N+1}+\sqrt{N}$ , τότε $(\sqrt{2}-1)^n=\sqrt{N+1}-\sqrt{N}$ , οπότε

$2\sqrt{N+1}=(\sqrt{2}+1)^n+(\sqrt{2}-1)^n$ και $2\sqrt{N}=(\sqrt{2}+1)^n-(\sqrt{2}-1)^n$

Άρα θα είναι

$4(N+1)=(3+2\sqrt{2})^n+(3-2\sqrt{2})^n+2$ και $4N=(3+2\sqrt{2})^n+(3-2\sqrt{2})^n-2$

Αρκεί να δείξουμε, λοιπόν, ότι αν $x_n=(3+2\sqrt{2})^n+(3-2\sqrt{2})^n$ για $n\geq 0$ , τότε ο x_n

είναι ακέραιος τέτοιος ώστε $x_n\equiv 2\pmod {4}$ για $n\geq 0.$

Πράγματι, είναι x_0=2,

και $x_{n+2}=6x_{n+1}-x_n$ για κάθε $n\geq 0$ , οπότε οι παραπάνω ισχυρισμοί έπονται εύκολα με επαγωγή.

Ο ισχυρισμός έπεται, λοιπόν, με $N=\dfrac{x_n-2}{4}$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

#8

Δίνω ακόμη μία απόδειξη:

Από το διωνυμικό ανάπτυγμα γνωρίζουμε ότι υπάρχουν ακέραιοι a_n,b_n

ώστε $(\sqrt{2}+1)^n = a_n + b_n\sqrt{2}$ . Θέλω να δείξω ότι |2b_n^2-a_n^2| = 1

αφού τότε μπορώ να πάρω N = a_n^2

ή

ανάλογα με το πιο είναι το μικρότερο.

Ο ισχυρισμός ισχύει για n=1

αφού

και

. Έστω ότι ο ισχυρισμός ισχύει για n=k

. Τότε

$\displaystyle (\sqrt{2}+1)^{k+1} = (a_k + b_k\sqrt{2})(1+\sqrt{2}) = (a_k + 2b_k) + (a_k+b_k)\sqrt{2}$

οπότε $a_{k+1} = a_k + 2b_k$ και $b_{k+1} = a_k+b_k$ . Τότε όμως

$\displaystyle |2b_{k+1}^2-a_{k+1}^2| = |2(a_k+b_k)^2 - (a_k+2b_k)^2| = |2a_k^2 + 4a_kb_k + 2b_k^2 - a_k^2 - 4a_kb_k - 4b_k^2| = |a_k^2-2b_k^2| = 1$

Οπότε το ζητούμενο ισχύει από την αρχή της μαθηματικής επαγωγής.

#9

Αυτό που είχα στον νου είναι κοντά στην μέθοδο του Δημήτρη, αλλά με μικροδιαφορές. Ας το δούμε χάριν ποικιλίας.

Από ανάπτυγμα διωνύμου είναι $(1+\sqrt{2})^n = a_n + b_n\sqrt{2}$ , όπου $a_n, \, b_n$ θετικοί ακέραιοι, οπότε και $\displaystyle{(1+\sqrt{2})^n = \sqrt {a_n^2} + \sqrt {2b_n^2}, \, (*)}$ . Εύκολα βλέπουμε (γνωστό άλλωστε) ότι ισχύει για τα ίδια αυτά $a_n, \, b_n$ η σχέση $(1-\sqrt{2})^n = a_n - b_n\sqrt{2}$ (αιτία: το δεύτερο ανάπτυγμα είναι άθροισμα όρων της μορφής $c_k(-\sqrt 2)^k$ που για άρτιο

είναι ο ίδιος ακέραιος με τον αντίστοιχο όρο του αναπτύγματος $(1+\sqrt{2})^n$ ενώ για περιττό είναι $-d_k\sqrt 2$ στο ένα ανάπτυγμα και $d_k\sqrt 2$ στο άλλο).

Πολλαπλασιάζοντας τις δύο κατά μέλη είναι (-1)^n = a_n^2-2b_n^2

. Άρα $\displaystyle{2b_n^2= a_n^2\pm 1}$ που σημαίνει ότι οι ποσότητες μέσα στις ρίζες στην (*)

διαφέρουν κατά

. Παίρνουμε λοιπόν

τον μικρότερο.

Ταυτότητα με άρρητους

Ταυτότητα με άρρητους

Re: Ταυτότητα με άρρητους

Re: Ταυτότητα με άρρητους

Re: Ταυτότητα με άρρητους

Re: Ταυτότητα με άρρητους

Re: Ταυτότητα με άρρητους

Re: Ταυτότητα με άρρητους

Re: Ταυτότητα με άρρητους

Re: Ταυτότητα με άρρητους

Μέλη σε σύνδεση