Δύναμη με ρητό εκθέτη

#1

Μια έμμεση απάντηση στο ερώτημα, στη μορφή μιας άσκησης που έχει στόχο να κατανοήσουν οι μαθητές για ποιο λόγο στον ορισμό της δύναμης με ρητό εκθέτη απαιτούμε τη θετικότητα της βάσης. Ο περιορισμός αυτός στη σελίδα 72 του σχολικού βιβλίου της Α΄ Λυκείου επιβάλλεται με δογματικό τρόπο, παρά το γεγονός ότι η αναγκαιότητα του συγκεκριμένου ορισμού εξηγείται ικανοποιητικά ("αρχή της διατήρησης"):

Να βρείτε το λάθος στην παρακάτω «απόδειξη» της ισότητας –8 = 8:

$\displaystyle - 8 = \left( { - 2} \right)^3 = \left( { - 2} \right)^{\frac{6}{2}} = \left[ {\left( { - 2} \right)^6 } \right]^{\frac{1}{2}} = 64^{\frac{1}{2}} = \sqrt {64} = 8$

Οι επιδόσεις των μαθητών στο θέμα Δ1 των φετινών πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικών Προσανατολισμού, έδειξαν ότι ενώ σχεδόν όλοι γνωρίζουν με τι ισούται μια δύναμη με ρητό εκθέτη, ελάχιστοι γνωρίζουν πότε ισχύει αυτή ισότητα.

Γιάννης Θωμαΐδης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

ότι θες ορίζεται.

Αν εννοείς στο Λύκειο δεν είμαι κατάλληλος να απαντήσω.(βλέπω απάντηση πιο πάνω)

Το συγκεκριμένο αν θεωρήσουμε την πλειότιμη συνάρτηση δύναμη είναι μονοσήμαντο και κάνει

.

Συγκεκριμένα $(-2)^{\frac{6}{2}}=e^{3log(-2)}$

$log(-2)=ln2+i\pi +i2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Ετσι είναι $(-2)^{\frac{6}{2}}=e^{ln8+i\pi +i2k\pi }=e^{ln8}e^{i\pi }=8(-1)=-8$

Εξηγήσεις.
log είναι ο μιγαδικός λογάριθμος(πλειότιμη συνάρτηση)
ln είναι ο πραγματικός λογάριθμος.
Για $k\in \mathbb{Z}$ είναι $e^{2k\pi i}=1$

mathstudent03 · #3

Γιάννης Θωμαΐδης έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 01, 2017 8:48 pm
$\displaystyle - 8 = \left( { - 2} \right)^3 = \left( { - 2} \right)^{\frac{6}{2}} = \left[ {\left( { - 2} \right)^6 } \right]^{\frac{1}{2}} = 64^{\frac{1}{2}} = \sqrt {64} = 8$

Τελικά το λάθος είναι στο δεύτερο "=" που περνάμε σε κλασματικό εκθέτη, ή στο τρίτο "=" που χρησιμοποιούμε την ιδιότητα δύναμης σε άλλη δύναμη;

Xriiiiistos · #4

Γιάννης Θωμαΐδης έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 01, 2017 8:48 pm
Να βρείτε το λάθος στην παρακάτω «απόδειξη» της ισότητας –8 = 8:

$\displaystyle - 8 = \left( { - 2} \right)^3 = \left( { - 2} \right)^{\frac{6}{2}} = \left[ {\left( { - 2} \right)^6 } \right]^{\frac{1}{2}} = 64^{\frac{1}{2}} = \sqrt {64} = 8$

H εκθέτες όλοι πάνε μόνο στο

και όχι στο

. Η πρώτη ισότητα απλά ισχύει επειδή ο

είναι περιττός ένα παράδειγμα $-4\neq (-2)^{2}$

#5

Όταν ζητούμε να βρεθεί το λάθος στην απόδειξη της ισότητας

$-8=(-2)^{3}=(-2)^{\frac{6}{2}}=[(-2)^{6}]^{\frac{1}{2}}=64^{\frac{1}{2}}=\sqrt{64}=8$

στήνουμε κατά κάποιο τρόπο μια «παγίδα» στον αναγνώστη, επειδή στην ουσία δεν υπάρχει κανένα λάθος.
Το παράδειγμα δείχνει ότι με τους περιορισμούς που θέτουμε στα σχολικά Μαθηματικά (στη λογική της παροιμίας «κάλλιο γαϊδουρόδενε παρά γαϊδουρογύρευε»), η εφαρμογή των ιδιοτήτων των δυνάμεων σε δυνάμεις με αρνητική βάση και ρητό εκθέτη θα οδηγήσει σε παράδοξα. Δεν υπάρχει όμως κανένα παράδοξο αν είμαστε σχολαστικοί και ελέγχουμε τι γράφουμε σε κάθε βήμα.
Στην τελευταία ισότητα θα μπορούσαμε π.χ. να γράψουμε $\sqrt{64}=-8$ , δεδομένου ότι $(-8)^{2}=64$ , και τότε φυσικά δεν υπάρχει κανένα παράδοξο. Όμως το δίτιμο σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας, που ήταν απολύτως νόμιμο και σεβαστό επί αιώνες και χρησιμοποιήθηκε με δεξιοτεχνία από μαθηματικούς του μεγέθους του Euler, απαγορεύεται σήμερα δια ροπάλου.
Ο Σταύρος εξήγησε πειστικότατα παραπάνω τι ακριβώς ισχύει στα Μαθηματικά, που δεν δεσμεύονται από τους σχολικούς περιορισμούς.

Γιάννης Θωμαΐδης

vasisot · #6

margk έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 01, 2017 5:26 pm
Καλησπέρα σε όλους .
Ορίζεται η δύναμη $(-2)^{6/2}$ ;

Είναι προφανές ότι η δύναμη $(-2)^{6/2}$ ορίζεται και είναι ίση με

, μπορεί να μας το επιβεβαιώσουν, οι περισσότεροι μαθητές και των Ελληνικών Γυμνασίων, αφού το $\frac{6}{2}$ είναι ακέραιος. Αν το πάμε λίγο παραπέρα, τα διάφορα προβλήματα με το θέμα προκύπτουν από την κακή επιλογή του ορισμού της δύναμης με ρητό εκθέτη στο σχολικό βιβλίο της Α' Λυκείου. Διορθώνονται με δυο απλά βήματα. Δεχόμαστε στους πραγματικούς το φυσιολογικό, κάθε πραγματικός έχει μία κυβική ρίζα, άρα γράφω $\sqrt[3]{-8}=-2$ , και κάθε θετικός πραγματικός αφού έχει δύο τετραγωνικές ρίζες με το σύμβολο $\sqrt{}$ να χρησιμοποιώ τη θετική άρα γράφω $\sqrt{9}=3$ , ενώ την αρνητική $-\sqrt{9}=-3$ . Έτσι όταν θα περάσουμε σε ρητό εκθέτη δεν θα ορίζονται μόνο εκείνες οι δυνάμεις με αρνητική βάση που έχουν εκθέτη ανάγωγο κλάσμα που οδηγεί σε άρτιας τάξης ριζικά. Οι ιδιότητες των δυνάμεων εξακολουθούν να ισχύουν. Αν ήταν έτσι τα πράγματα, όπως απέδειξε το αποτυχημένο εκ του αποτελέσματος θέμα του 2017 με την παράγωγο κυβικής ρίζας, τόσοι πολλοί υποψήφιοι δεν θα το αντιμετώπιζαν λάθος αφού τους ζητάμε να κατανοήσουν τα ακατανόητα. Η παρακάτω εικόνα είναι κατατοπιστική.

revan085 · #7

Ας πάρουμε τις πραγματικές συναρτήσεις: $f(x)=(x^{4})^{1/2}$ και $g(x)=(x^{1/2})^{4}$
Είναι $\Delta (f)=\mathbb{R}$ και $\Delta (g)=[ 0, \right+\infty )$ .

Οι f και g είναι ίσες στην τομή $\Delta (f)\cap\Delta (g) =\mathbb{R}\cap [ 0, \right+\infty )=[ 0, \right+\infty )$

Επομένως, $f(x)=g(x)=x^{\frac{4}{2}}=x^{2},\:\forall\ x\geqslant 0$

Τελικά, όλα έχουν να κάνουν με το "από ποια οπτική γωνία το βλέπουμε", καθώς αν "συμπεριλάβουμε στις γνώσεις μας" τους μιγαδικούς αριθμούς τότε: $\left ( -2 \right )^{6/2}=-8$

Αν όμως περιοριστούμε στους πραγματικούς αριθμούς, τότε γράφοντας το $\left ( -2 \right )^{6/2}$ δεχόμαστε ότι $[\left ( -2 \right )^{6}]^{1/2}=[\left ( -2 \right )^{1/2}]^{6}$ το οποίο είναι εσφαλμένο καθώς το δεξί μέλος της τελευταίας ισότητας δεν είναι καλά ορισμένο.

Εκεί είναι το πρόβλημα και γι'αυτό στο σχολικό βιβλίο της Άλγεβρας Α΄Λυκείου είναι γραμμένος ο ορισμός της δύναμης με εκθέτη πηλίκο ακεραίων με αυτό τον τρόπο. Ειδικότερα:

Στην περίπτωση που έχουμε δύο ακεραίους $\mu\in \mathbb{Z} ,\nu\in \mathbb{N}^{*}$ η δύναμη $a^{\mu/\nu}$ ορίζεται αν και μόνο αν a>0

, ενώ η δύναμη $0^{\mu/\nu}$ ορίζεται αν και μόνο αν $\mu\in \mathbb{N}^{*}$ και $\nu\in \mathbb{N}^{*}$ .
Και τούτο γιατί, στην Α ΄ Λυκείου το ευρύτερο σύνολο αναφοράς απ' όπου παίρνουν τιμές τα $\mu,\nu,a$ είναι το $\mathbb{R}$

Εργαζόμενοι στους πραγματικούς αριθμούς, ούτε το $\left ( -2 \right )^{4/2}$ δεν μπορούμε να γράψουμε.

Η ρίζα του προβλήματος (της όποιας παρανόησης με τις δυνάμεις αυτών των μορφών), προέρχεται από:
1) Το γεγονός ότι στο Σχολείο η συγκεκριμένη διαδικασία δεν είναι και τόσο εύκολο να αποτυπωθεί από τους μαθητές.
2) Το γεγονός ότι στο Πανεπιστήμιο η συγκεκριμένη διαδικασία θεωρείται διδαχθείσα από το Σχολείο.

ΥΓ: Μήπως τελικά "κάτι ξέρανε οι παλιοί" που δεν ανέφεραν τις συγκεκριμένες δυνάμεις στο προηγούμενο σχολικό βιβλίο της Άλγεβρας Α΄ Λυκείου και χρησιμοποιούσαν μόνο ριζικά; Θέλουμε και να τα κάνουμε όλα ψηφιακά (τρομάρα μας)

Martingale · #8

Βέβαια ορίζεται. Είναι πραγματικός υψωμένος σε φυσικό.

Από κει και πέρα, η 3η ισότητα του συλλογισμού είναι λανθασμένη εφαρμογή της ιδιότητας $(y^{r_1})^{r_2}=y^{r_1r_2}$ , η οποία ισχύει για $y>0, r_1,r_2 \in \mathbb{Q}$ . Εδώ βέβαια έχουμε τη βάση -2 η οποία δεν είναι θετική, άρα δεν μπορούμε να την εφαρμόσουμε.

kkala · #9

Εχω την εντύπωση ότι κάτι παρόμοιο έχει συζητηθεί και αλλού (πρίν ένα έτος?). Πάντως νομίζω ότι η αλγεβρική ιεραρχία επιβάλλει οι πράξεις στον εκθέτη να προηγούνται των άλλων, οπότε $(-2)^{6/2} = (-2)^{(6/2)}=-8$ (α)
Με την ίδια λογική $(-2)^{6/2}=-8 \not\equiv ((-2)^{6})^{1/2}=8.$
Το ζήτημα είναι μάλλον τυπικό, διότι καταλαβαίνω ότι το (σημερινό) σχολικό βιβλίο εξ ορισμού δεν αποδέχεται σαν βάση αρνητικό αριθμό υψωμένο σε κλασματική δύναμη, ακόμα και αν το κλάσμα παριστάνει ακέραιο αριθμό.
Δεν το έχω δεί κάπου, αλλά εφόσον οι πράξεις γράφονται στον εκθέτη (ολες μικρά γράμματα) κρίνεται λογικό να ισχύει to (α) παραπάνω. Τούτο δεν γίνεται εμφανές στα επιστημονικά μηχανάκια (calculators) ή τις γλώσσες προγραμματισμού αν δεν μπεί ο εκθέτης σε παρένθεση. Διότι χωρίς παρένθεση ως εκθέτης νοείται μόνο ο πρώτος όρος και ο επόμενος όρος του εκθέτη εκτελεί πράξη επί του προηγούμενου αποτελέσματος της δύναμης.
Π.χ. με το Sharp EL-5020: H $(-2)^{6/2 }$ πληκτρολογείται σαν $(-2)^{(6/2)}=-8$ (σωστό) ή σαν $(-2)^{6/2}=32$ (λάθος). Στο τελευταίο το μηχανάκι εκτελεί $(-2)^{6}/2$ , διότι δεν "καταλαβαίνει" ότι το 2 αφορά τον εκθέτη (οπότε6/2=3).
Πάντως οι πράξεις με κλασματικούς εκθέτες που στην ουσία παριστάνουν ακέραιους αριθμούς (όπως 6/2) εκτελούνται κανονικά στο μηχανάκι.
Αυτό δίνει αποτέλεσμα και για κάποιους εκθέτες κλάσματα π.χ. $(-8)^{(1/3)}= -2$ .
Ίδια αποτελέσματα έχουμε και με το επιστημονικό μηχανάκι (calculator) Kenko KK-108.

mathematica.gr

Δύναμη με ρητό εκθέτη

Re: Δύναμη με ρητό εκθέτη

Re: Δύναμη με ρητό εκθέτη

Re: Δύναμη με ρητό εκθέτη

Re: Δύναμη με ρητό εκθέτη

Re: Δύναμη με ρητό εκθέτη

Re: Δύναμη με ρητό εκθέτη

Re: Δύναμη με ρητό εκθέτη

Re: Δύναμη με ρητό εκθέτη

Re: Δύναμη με ρητό εκθέτη

Μέλη σε σύνδεση