Στην ίδια ευθεία

giannimani · #1

Στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC

, θεωρούμε τα σημεία

και

. Το σημείο A '

της ευθείας της πλευράς

είναι τέτοιο, ώστε οι ευθείες PA'

και

να είναι συμμετρικές ως προς τη

. Τα σημεία B '

,

ορίζονται με ανάλογο τρόπο. Να αποδείξετε ότι τα A '

,

ανήκουν στην ίδια ευθεία.

: Refl.png (55.17 KiB) Προβλήθηκε 1336 φορές

min## · #2

Για να δούμε.
Ορίζω $P_{1},P_{2},P_{3}$ τα συμμετρικά του

ως προς τις AB,AC,BC

και ομοίως τα $Q_{1},Q_{2},Q_{3}$ για το

.Είναι γνωστό ότι οι $P_{1}P_{2}P_{3},Q_{1}Q_{2}Q_{3}$ είναι ευθείες,οι λεγόμενες ευθείες Steiner των P,Q

οι οποίες περνούν από το ορθόκεντρο του ABC

.
Τα σημεία $A_{1},B_{1},C_{1}$ μπορούν να οριστούν ως $PQ_{3}\cap BC ,PQ_{2}\cap AC,PQ_{1}\cap AB$ και ως $QP_{3}\cap BC ,QP_{2}\cap AC,QP_{1}\cap AB$ ,δηλαδή τελικά ως $PQ_{3}\cap QP_{3} ,PQ_{2}\cap QP_{2},PQ_{1}\cap QP_{1}$ και ζητείται να δειχτεί ότι είναι συνευθειακά.
Ισοδύναμα,ζητείται να δειχτεί ότι οι δέσμες $P(Q,Q_{1},Q_{2},Q_{3}),Q(P,P_{1},P_{2},P_{3})$ έχουν ίσους διπλούς λόγους,γιατί τότε λόγω της κοινής τους ακτίνας, τα σημεία τομής των ομόλογων ακτινών θα είναι συνευθειακά.
Αρκεί λοιπόν να δειχτεί ότι οι $Q(P,Q_{1},Q_{2},Q_{3}),P(Q,P_{1},P_{2},P_{3})$ έχουν ίσους διπλούς λόγους,το οποίο όμως είναι άμεσο από τις καθετότητες(πχ. $Q_{3}QQ_{2\angle }\equiv C\angle \equiv P_{3}PP_{2}\angle mod\pi$ κλπ.,δηλαδή τελικά οι δέσμες έχουν ίσες γωνίες μεταξύ των ακτινών τους κλπ...)

: dfrSTEINER.png (46.15 KiB) Προβλήθηκε 1294 φορές

giannimani · #3

Με την ίδια αφετηρία...

Έστω $P_{a}$ , $P_{b}$ , $P_{C}$ και $Q_{a}$ , $Q_{b}$ , $Q_{C}$ τα συμμετρικά των

,

ως προς τις

,

αντίστοιχα.
Είναι γνωστό ότι καθεμία από τις δύο παραπάνω τριάδες των σημείων, ανήκει στην ίδια ευθεία,
και συγκεκριμένα στις ευθείες Steiner των σημείων

,

ως προς το τρίγωνο ABC

.
Τις συμβολίζουμε με $s_{p}$ και $s_{q}$ αντίστοιχα.

Τότε, και λόγω της υπόθεσης θα είναι:
$A'\,=\,(PQ_{a})\cap (QP_{a})\qquad (1)$ ,
$B'\,=\,(PQ_{b})\cap (QP_{b})$ ,
$C'\,=\,(PQ_{c})\cap (QP_{c})$

Στη συνέχεια, από τα σημεία

,

θεωρούμε τις παράλληλες $\ell_{q}$ , $\ell_{p}$ προς τις $s_{q}$ , $s_{p}$ αντίστοιχα.
Έστω $K\,=\, s_{p} \cap \ell_{q}$ και $L\,=\, s_{q} \cap \ell_{p}$ . Τότε οι πλευρές του $\vartriangle PP_{a}K$ είναι παράλληλες προς τις
αντίστοιχες πλευρές του $\vartriangle Q_{a}QL$ , οπότε τα δύο τρίγωνα είναι ομοιόθετα.

Επομένως, οι ευθείες που ενώνουν τις ομόλογες κορυφές των, δηλαδή, οι ευθείες $PQ_{a}$ , $P_{a}Q$ και

θα διέρχονται από το κέντρο ομοιοθεσίας των δύο τριγώνων. Αυτό σημαίνει, λόγω της (1)

ότι το κέντρο
ομοιοθεσίας είναι το

, δηλαδή, $A' \in (KL)$ .

Με όμοιο τρόπο αποδεικνύουμε ότι $B' \in (KL)$ και $C' \in (KL)$ .

: Srefl.png (106.16 KiB) Προβλήθηκε 1238 φορές

Στην ίδια ευθεία

Στην ίδια ευθεία

Re: Στην ίδια ευθεία

Re: Στην ίδια ευθεία

Μέλη σε σύνδεση