Γωνία απ' το πουθενά
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Γωνία απ' το πουθενά
αντίστοιχα. Αν είναι ένα κοινό σημείο των κύκλων να υπολογίσετε τη γωνία
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Γωνία απ' το πουθενά
Για να μην μείνει αναπάντητη η πρόταση (πιθανότατα υπάρχει και γωνιακή λύση αλλά προς στιγμή μου διαφεύγει μια "παραλληλία") ας δούμε μια μετρική μπελαλίδικη λύση (αναλυτικά οι πράξεις) .george visvikis έγραψε: ↑Πέμ Νοέμ 08, 2018 12:33 pmΓωνία απ' το πουθενά.png
Από τις κορυφές τριγώνου φέρνουμε εφαπτόμενες στον περίκυκλό του, που τέμνουν τις στα
αντίστοιχα. Αν είναι ένα κοινό σημείο των κύκλων να υπολογίσετε τη γωνία
Έστω (χωρίς βλάβη της γενικότητας) ότι στο τρίγωνο είναι . Από την προφανή ομοιότητα (γωνιακό κριτήριο) των τριγώνων προκύπτει ότι:
Με όμοιο τρόπο προκύπτει ότι:
Από τον νόμο των συνημίτονων στα τρίγωνα θα έχουμε:
και το ζητούμενο έχει υπολογιστεί
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Re: Γωνία απ' το πουθενά
Υπάρχει γωνιακή.Τη βρήκα και παρέλειψα να τη βάλω.Θα την ανεβάσω αύριο(εκτός αν με προλάβουν)
Re: Γωνία απ' το πουθενά
Επειδή (ξ)έχασα τη λύση (μάλλον δεν ήταν σωστή-παρόλο που βρήκα τη γωνία 60 ):Ουσιαστικά ζητείται να βρεθεί η γωνία μεταξύ 2 Απολλόνιων κύκλων του τριγώνου.Είναι γνωστό και σχετικά εύκολα αποδείξιμο ότι οι 3 Απολλώνιοι κύκλοι έχουν 2 κοινά σημεία (τα λεγόμενα ισοδυναμικά).Επειδή και οι 3 είναι ορθογώνιοι με τον περίκυκλο του ,μια αντιστροφή με οποιονδήποτε από αυτούς θα κρατούσε σταθερό τον περίκυκλο.Αν πχ. αντιστρέψουμε με κύκλο τον του σχήματος,ο θα πάει στον εαυτό του.Επειδή επιπλέον κόβονται αρμονικά οι (επί της ),το αντίστροφο του θα είναι το .(ουσιαστικά άμεσο από την ορθογωνιότητα).Τώρα,οι θα είναι αντίστροφοι,επειδή ο αντίστροφος του περνάει από τα (και είναι κάθετος στον -η αντιστροφή διατηρεί τις γωνίες μεταξύ των καμπύλων).Άρα είναι ο .Επειδή η αντιστροφή διατηρεί τις γωνίες,οι γωνίες μεταξύ των θα είναι ίσες μεταξύ τους.Το ίδιο ισχύει για όλα τα ανά δύο ζεύγη κύκλων,οπότε "παίζοντας" λίγο καταλήγουμε ότι οι κύκλοι τέμνονται σε γωνίες μοιρών (ή ,εξαρτάται πως θα το δει κανείς).
τελευταία επεξεργασία από min## σε Δευ Δεκ 17, 2018 2:42 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Γωνία απ' το πουθενά
Στο σχήμα του Στάθη.
Από νόμο ημιτόνων παίρνουμε
(1)
Η γωνία θα είναι αν και μόνο αν από νόμο συνημιτόνων στο ισχύει
(2)
(εχω χρησιμοποιήσει ότι )
Από την άλλη ο νόμος των συνημιτόνων στο τρίγωνο
δίνει
(3)
Λόγω της (3) θα ισχύει λοιπόν η (2) αν
Η τελευταία ισχύει αν αντικαταστήσουμε τις (1) και τις γνωστές
Οι τριγωνομετρικές ταυτότητες που χρησιμοποιούνται είναι μόνο
(γίνονται αρκετά θαύματα)
Από νόμο ημιτόνων παίρνουμε
(1)
Η γωνία θα είναι αν και μόνο αν από νόμο συνημιτόνων στο ισχύει
(2)
(εχω χρησιμοποιήσει ότι )
Από την άλλη ο νόμος των συνημιτόνων στο τρίγωνο
δίνει
(3)
Λόγω της (3) θα ισχύει λοιπόν η (2) αν
Η τελευταία ισχύει αν αντικαταστήσουμε τις (1) και τις γνωστές
Οι τριγωνομετρικές ταυτότητες που χρησιμοποιούνται είναι μόνο
(γίνονται αρκετά θαύματα)
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Γωνία απ' το πουθενά
Αφού ευχαριστήσω το Στάθη, τον min## και το Σταύρο για την αντιμετώπιση του θέματος, θα δώσω άλλη μία μετρική λύση.
Έστω Θα δείξω ότι
Από θεώρημα Stewart στο
Από το ίδιο θεώρημα στο παίρνουμε .
Αλλά,
Νόμος συνημιτόνων στο
Νόμος συνημιτόνων στο
οπότε
Έστω Θα δείξω ότι
Από θεώρημα Stewart στο
Από το ίδιο θεώρημα στο παίρνουμε .
Αλλά,
Νόμος συνημιτόνων στο
Νόμος συνημιτόνων στο
οπότε
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες