Όρεξη είχε

#1

Ο Αντρέας έλυσε ένα μαθηματικό πρόβλημα και βρήκε $\sqrt{15!}$ ως τελική απάντηση. Παρατήρησε ότι υπάρχουν πολλοί τρόποι να γράψει την απάντηση ως $a\sqrt{b}$ με a,b

θετικούς ακεραίους. Για κάθε τέτοιο τρόπο υπολόγισε το

και το έγραψε στην μορφή q 15!

για κάποιον ρητό

.

Να βρεθεί το άθροισμα όλων των

.

Ορέστης Λιγνός · #2

Demetres έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 28, 2018 9:40 pm
Ο Αντρέας έλυσε ένα μαθηματικό πρόβλημα και βρήκε $\sqrt{15!}$ ως τελική απάντηση. Παρατήρησε ότι υπάρχουν πολλοί τρόποι να γράψει την απάντηση ως $a\sqrt{b}$ με θετικούς ακεραίους. Για κάθε τέτοιο τρόπο υπολόγισε το και το έγραψε στην μορφή για κάποιον ρητό .

Να βρεθεί το άθροισμα όλων των .

Καταρχήν, είναι προφανές ότι $q=\dfrac{1}{a}$ (πράγματι, $q 15!=ab=\dfrac{15!}{a} \Rightarrow q=\dfrac{1}{a}$ .

Επίσης, $15!=2^{11} \cdot 3^6 \cdot 5^3 \cdot 7^2 \cdot 11 \cdot 13=a^2b$ , και άρα $a=2^{k_1} \cdot 3^{k_2} \cdot 5^{k_3} \cdot 7^{k_4} \cdot 11^{k_5} \cdot 13^{k_6}$ .

Οπότε, πρέπει $2^{2k_1} \cdot 3^{2k_2} \cdot 5^{2k_3} \cdot 7^{2k_4} \cdot 11^{2k_5} \cdot 13^{2k_6} \cdot b=2^{11} \cdot 3^6 \cdot 5^3 \cdot 7^2 \cdot 11 \cdot 13$ , συνεπώς κάθε k_i

είναι μικρότερο από τον αντίστοιχο εκθέτη στο δεξί μέλος.

Συνεπώς, $k_1 \leqslant 5, k_2 \leqslant 3, k_3 \leqslant 1, k_4 \leqslant 1, k_5=k_6=0$ , και επομένως ο

πρέπει να διαιρεί τον $2^5 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7=30240$ .

Καταλήγουμε ότι θέλουμε το άθροισμα των αντιστρόφων των διαιρετών του 30240

.

Έστω λοιπόν $d_1<d_2< \ldots<d_{\ell}$ οι διαιρέτες του 30240

, και $\displaystyle P=\sum_{j=1}^{\ell} \dfrac{1}{d_j}}$ .

Ισχύει, (εύκολο) ότι $d_j d_{\ell+1-j}=30240$ με $j \in \{1,2, \ldots, \ell \}$ , οπότε είναι $\displaystyle 30240P=\sum_{j=1}^{\ell} \dfrac{30240}{d_j}}=\sum_{j=1}^{\ell} d_{\ell+1-j}= d_\ell+d_{\ell-1}+ \ldots+d_1$ .

Είναι γνωστό όμως (π.χ. βλέπε εδώ ) ότι το άθροισμα των διαιρετών ενός αριθμού $n=p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdots p_s^{a_s}$ με p_i

πρώτους, είναι $\displaystyle \prod_{i=1}^{s} \dfrac{p_i^{a_i+1}-1}{p_i-1}$ .

Στην περίπτωσή μας λοιπόν, έχουμε $d_\ell+d_{\ell-1}+ \ldots+d_1=120960$ , και τελικά $120960=30240P \Rightarrow \boxed{P=4}$ και τελειώσαμε.

Όρεξη είχε

Όρεξη είχε

Re: Όρεξη είχε

Μέλη σε σύνδεση