Η σφαιρα και η αλλη σφαιρα

[papel]

Στο σχημα εχουμε μια μεγαλη σφαιρα ακτινας R που εφαπτεται στις πλευρες του κυβου και μια μικρη σφαιρα ακτινας r που εφαπτεται στις τρεις πλευρες του κυβου και στην μεγαλη σφαιρα.Να βρειτε την ακτινα της μικρης σφαιρας συναρτησει της R.

(Για τον ΑΣΕΠ ας πουμε για ασφαλεια του 2014...)

[Ανδρέας Πούλος]

Καταθέτω σε αρχείο την επίλυση του προβλήματος.
Παρακαλώ μία βοήθεια (δώστε μου οδηγίες) γιατί δεν μπορώ να επισυνάψω το αρχείο που έχω γράψει σε Word.
Ανδρέας Πούλος

[Ανδρέας Πούλος]

Δεν ξέρω αν βρήκα τη σωστή λύση, πάντως ευχαριστώ για την άμεση βοήθεια στην επισύναψη του αρχείου μου.
Φιλικά,
Ανδρέας

[papel]

Επισυναπτω την σωστη απαντηση του κ.Πουλου και σε pdf

[Mihalis_Lambrou]

Στο σχημα εχουμε μια μεγαλη σφαιρα ακτινας R που εφαπτεται στις πλευρες του κυβου και μια μικρη σφαιρα ακτινας r που εφαπτεται στις τρεις πλευρες του κυβου και στην μεγαλη σφαιρα.Να βρειτε την ακτινα της μικρης σφαιρας συναρτησει της R.

(Για τον ΑΣΕΠ ας πουμε για ασφαλεια του 2014...)

Ενδιαφέρον θέμα, αλλά για να μην κάνουμε τα εύκολα δύσκολα χωρίς λόγο, είναι απλούστερο να σκεφτούμε στις δύο διαστάσεις:

Το ορθογώνιο που ορίζεται από δύο απέναντι ακμές του κύβου (πλευρών a και ) αποκόπτει από τις σφαίρες μέγιστους κύκλους, όπως δείχνει το συνημμένο σχήμα. Τώρα ο υπολογισμός των ακτίνων είναι απλός.

Παραλλαγή αυτής της άσκησης, στις δύο διαστάσεις, είχε πέσει στον Καγκουρό 2007 (για μαθητές Γ' Γυμνασίου) και άλλη παραλλαγή στον Καγκουρό 2009 (πάλι για μαθητές Γ' Γυμνασίου).

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Edit: διόρθωση στο σχήμα.