Συντρέχουσες ευθείες σε ισοσκελές τρίγωνο.

#1

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $\bigtriangleup ABC$ και έστω $(O_{1}),\ (O_{2}),$ δύο τυχόντες κύκλοι με χορδές τις ίσες πλευρές του $AB,\ BC,$ αντιστοίχως. Δια του

φέρνουμε ευθεία παράλληλη προς την BC,

η οποία τέμνει τους $(O_{1}),\ (O_{2})$ στα σημεία $D,\ E,$ αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι οι κάθετες ευθείες από τα κέντρα $O_{1},\ O_{2}$ των κύκλων $(O_{1}),\ (O_{2}),$ επί των ευθειών $BE,\ CD$ αντιστοίχως, τέμνονται σε σημείο επί της ευθείας του ύψους

του $\bigtriangleup ABC.$

Κώστας Βήττας.

dimitris pap · #2

Βάζω τα βασικά βήματα της λύσης του φίλου μου Σιλουανού σε αυτήν την ωραία ( και αρκετά δύσκολη ) άσκηση!

Κατ' αρχάς έστω

η τομή των $BE,\ CD$ . Τότε το πρόβλημα ισοδυναμεί με τον να δείξουμε ότι το

βρίσκεται στον ριζικό άξονα των 2 κύκλων ( γιατί ; ).

Εστω τώρα $S,\ T$ οι τομές των 2 κύκλων με την

αντιστοίχως. Toτε το TSDE

είναι ισοσκελές ( αφού $\angle SDE = \angle CBA = \angle BCA = \angle TEA$ ) τραπέζιο κι άρα εγγράψιμο. Αυτό σημαίνει ότι το σημείο τομής των $DS,\ ET$ ( έστω

) βρίσκεται επί του ριζικού άξονα. Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι στο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ οι $CD,\ BE,\ AR$ συντρέχουν. Αυτό όμως μπορεί να δειχτεί με θεώρημα Ceva ( πώς ; ) κι άρα τελειώσαμε.

Συγνώμη που έγραψα μόνο περιληπτικά τη λύση. Για ότι δεν καταλάβετε παρακαλώ ρωτήστε.

Ζήνων Λυγάτσικας · #3

Λύνοντας την άσκηση βρήκα κάποιες επιπλέον ιδιότητες, σας τις διαθέτω στο αρχειο...

#4

Μία από τις πολλές οφειλές μου στο

.

$\bullet$ Έστω τα σημεία $Z\equiv (O_{2})\cap CD$ και $F\equiv (O_{1})\cap BE$ .

Από το τρίγωνο $\vartriangle CEZ$ και το εγγεγραμμένο στον κύκλο $(O_{2})$ τετράπλευρο AECZ

έχουμε $\angle EZD = \angle ECZ + \angle CEZ$ $= \angle ZAD + \angle CAZ = \angle CAD\ \ \ ,(1)$

Από το τρίγωνο $\vartriangle BDF$ και το εγγεγραμμένο στον κύκλο $(O_{1})$ τετράπλευρο ADBF

έχουμε $\angle EFD = \angle DBF + \angle BDF$ $= \angle FAE + \angle BAF = \angle BAE\ \ \ ,(2)$

Αλλά, $\angle CAD = \angle BAE\ \ \ ,(3)$ λόγω $\angle BAD = \angle B = \angle C = \angle CAE$ .

Από $(1),\ (2),\ (3)\Rightarrow$ $\angle EZD = \angle EFD\ \ \ ,(4)$

: Συντρέχουσες ευθείες σε ισοσκελές τρίγωνο.; f=112_t=545(a).PNG (35.6 KiB) Προβλήθηκε 1260 φορές

Από

προκύπτει ότι το τετράπλευρο DEZF

είναι εγγράψιμο σε κύκλο έστω (O')

και αρα ισχύει $\angle FZD = \angle FED\ \ \ ,(5)$

Αλλά, ισχύει και $\angle FED = \angle FBC\ \ \ ,(6)$ λόγω $DE\parallel BC$ .

Από $(4),\ (5)\Rightarrow$ $\angle FZD = \angle FBC\ \ \ ,(7)$ και άρα, το τετράπλευρο BCZF

είναι εγγράψιμο σε κύκλο έστω (O)

.

$\bullet$ Έστω $K,\ L,\ M,$ τα μέσα των $BF,\ CZ,\ BC$ αντιστοίχως και είναι προφανές τώρα, ότι οι $O_{1}K,\ O_{2}L,\ AM$ , ως ταυτιζόμενες με τις μεσοκάθετες ευθείες αυτών των τμημάτων, συντρέχουν στο περίκεντρο

του κύκλου (O)

και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Ένα ενδιαφέρον αποτέλεσμα που αναφέρεται στην απόδειξη του Σιλουανού πιο πάνω ( θα βάλω αργότερα μία ανασύνθεσή της ), που μας έδωσε περιληπτικά ο Δημήτρης ( dimitris pap ), είναι ότι το σημείο έστω $P\equiv BE\cap CD$ ανήκει στον ριζικό άξονα των κύκλων $(O_{1}),\ (O_{2})$ . Πράγματι, λόγω του περίκυκλου (O)

τετραπλεύρου BCZF

ο οποίος τέμνει τους $(O_{1}),\ (O_{2})$ , συμπεραίνεται άμεσα ότι οι ευθείες $BF\equiv BE$ και $CZ\equiv CD$ και AA'

, όπου έστω

είναι το δεύτερο εκτός του

κοινό σημείο των κύκλων $(O_{1}),\ (O_{2})$ , συντρέχουν στο ριζικό κέντρο των κύκλων $(O),\ (O_{1}),\ (O_{2})$ .

#5

dimitris pap έγραψε:Βάζω τα βασικά βήματα της λύσης του φίλου μου Σιλουανού...

Κατ' αρχάς έστω η τομή των $BE,\ CD$ . Τότε το πρόβλημα ισοδυναμεί με τον να δείξουμε ότι το βρίσκεται στον ριζικό άξονα των 2 κύκλων ( γιατί ; ).

Εστω τώρα $S,\ T$ οι τομές των 2 κύκλων με την αντιστοίχως. Toτε το είναι ισοσκελές (αφού $\angle SDE = \angle CBA = \angle BCA = \angle TEA$ ) τραπέζιο κι άρα εγγράψιμο. Αυτό σημαίνει ότι το σημείο τομής των $DS,\ ET$ ( έστω ) βρίσκεται επί του ριζικού άξονα. Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι στο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ οι $CD,\ BE,\ AR$ συντρέχουν. Αυτό όμως μπορεί να δειχτεί με θεώρημα Ceva ( πώς ; ) κι άρα τελειώσαμε.

Μία προσπάθεια ανασύνθεσης της απόδειξης του Σιλουανού, ως απάντηση στα ερωτήματα του Δημήτρη εντός των παρενθέσεων.

$\bullet$ Έστω τα σημεία $S\equiv (O_{1})\cap BC$ και $T\equiv (O_{2})\cap BC$ και από $ST\parallel DE$ και $\angle SDE = \angle B = \angle C = \angle TEA$ , έχουμε ότι το τετράπλευρο TSDE

είναι ισοσκελές τραπέζιο και άρα εγγράψιμο σε κύκλο έστω (O')

.

Οι ευθείες τώρα, $DS,\ ET$ και AA'

, όπου

είναι το δεύτερο εκτός του

κοινό σημείο των κύκλων $(O_{1}),\ (O_{2}),$ συντρέχουν στο ριζικό κέντρο έστω

, των κύκλων $(O'),\ (O_{1}),\ (O_{2})$ .

Έστω το σημείο $P\equiv BE\cap CD$ και θα αποδείξουμε ότι ανήκει στην ευθεία

.

$\bullet$ Έστω τα σημεία $X\equiv AB\cap CD$ και $Y\equiv AC\cap BE$ και $N\equiv BC\cap AR$ και σύμφωνα με το Θεώρημα Ceva,

αρκεί να αποδειχθεί ότι ισχύει $\displaystyle \frac{XA}{XB}\cdot \frac{NB}{NC}\cdot \frac{YC}{YA} = 1\ \ \ ,(1)$

: Συντρέχουσες ευθείες σε ισοσκελές τρίγωνο - Ανασύνθεση της απόδειξης του Σιλουανού Μπραζιτίκου.; f=112_t=545(b).PNG (35.2 KiB) Προβλήθηκε 1215 φορές

Αλλά, από $BC\parallel DE$ έχουμε $\displaystyle \frac{XA}{XB} = \frac{AD}{BC}\ \ \ ,(2)$ και $\displaystyle \frac{YC}{YA} = \frac{BC}{AE}\ \ \ ,(3)$

Επίσης, από το

ως σημείο του ριζικού άξονα των κύκλων $(O_{1}),\ (O_{2})$ , έχουμε $(NB)(NS) = (NC)(NT)\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{NB}{NC} = \frac{NT}{NS}\ \ \ ,(4)$

Ακόμη, από $ST\parallel DE$ και $R\equiv DS\cap AN\cap ET\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{NT}{NS} = \frac{AE}{AD}\ \ \ ,(5)$

Από $(2),\ (3),\ (4),\ (5)\Rightarrow$ (1)

και άρα, οι ευθείες $BY\equiv BE$ και $CX\equiv CD$ και $AN\equiv AR$ τέμνονται στο ίδιο σημείο. (*)

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

$\bullet$ Το σημείο $P\equiv BE\cap CD$ δηλαδή, ανήκει στον ριζικό άξονα

των κύκλων $(O_{1}),\ (O_{2})$ και άρα ισχύει $(PF)(PB) = (PZ)(PC)\ \ \ ,(6)$ όπου $F\equiv (O_{1})\cap BE$ και $Z\equiv (O_{2})\cap CD$ .

Από (6)

προκύπτει ότι το τετράπλευρο BCZF

είναι εγγράψιμο σε κύκλο έστω (O)

και ας είναι $K,\ L,$ τα μέσα των $BF,\ CZ$ , αντιστοίχως.

Είναι προφανές τώρα, ότι οι $O_{1}K,\ O_{2}L,\ AM,$ ως οι μεσοκάθετες ευθείες των $BF,\ CZ,\ BC$ αντιστοίχως, συντρέχουν στο περίκεντρο

του

και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

Συντρέχουσες ευθείες σε ισοσκελές τρίγωνο.

Συντρέχουσες ευθείες σε ισοσκελές τρίγωνο.

Re: Συντρέχουσες ευθείες σε ισοσκελές τρίγωνο.

Re: Συντρέχουσες ευθείες σε ισοσκελές τρίγωνο.

Re: Συντρέχουσες ευθείες σε ισοσκελές τρίγωνο.

Re: Συντρέχουσες ευθείες σε ισοσκελές τρίγωνο.

Μέλη σε σύνδεση