Πολυλογάς

KARKAR · #1

: Πολυλογάς.png (12.14 KiB) Προβλήθηκε 1204 φορές

Υπολογίστε τους λόγους : $\dfrac{AS}{SM}$ και $\dfrac{PS}{ST}$

Xriiiiistos · #2

Αν δεν ανεβάσει κάποιος τους λόγους τότε θα το κάνω εγώ σε λίγες μέρες

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: Σάβ Δεκ 15, 2018 12:02 pm Πολυλογάς.png Υπολογίστε τους λόγους : $\dfrac{AS}{SM}$ και $\dfrac{PS}{ST}$

Εστω ότι

$ET//DS//AB,\dfrac{EC}{a}=\dfrac{5}{11}\Leftrightarrow EC=\dfrac{5a}{11}, \dfrac{PS}{ST}=\dfrac{x} {y},(1),x=BD,y=DE, \dfrac{2MD}{a}=\dfrac{MS}{MA}\Leftrightarrow \dfrac{SA}{MS}=\dfrac{2x}{a-2x},(2).$

Απο Θ.Μενελάου στο τρίγωνο ABC

με τέμνουσα $PTO,OC=\dfrac{15a}{9},(3),$

Ομοίως στο τρίγωνο AMC

με τέμνουσα $STO,\dfrac{SA}{MS}=\dfrac{12}{13},$ (4)

λόγω της (3)

Από $(2),(4)\Rightarrow \dfrac{12}{13}=\dfrac{2x}{2-2x}\Leftrightarrow x=\dfrac{6a}{15}, y=a-\dfrac{6a}{15}-\dfrac{5a}{11}\Leftrightarrow y=\dfrac{84a}{25.11}, \dfrac{x}{y}=\dfrac{33}{42}=\dfrac{PS}{ST}$

Γιάννης

#4

Με την τετριμμένη διαδικασία ( Θ Μενελάου )

Στο $\vartriangle ABC$ με διατέμνουσα $\overline {PTK}$ έχω : $\boxed{\frac{{CK}}{{BC}} = \frac{5}{7}}$

έτσι αν $\boxed{a = 14m\,\, \Rightarrow u = CK = 10m}$ . Με BM = MC = 7m

, αβίαστα τα παρακάτω:

: Πολυλογάς.png (15.34 KiB) Προβλήθηκε 1142 φορές

1. $\vartriangle ABM$ , διατέμνουσα $\overline {PSK}$ έχω : $\boxed{\frac{{AS}}{{SM}} = \frac{{12}}{{17}}}$

2. $\vartriangle SMK$ , διατέμνουσα $\overline {ATC}$ έχω : $\dfrac{{TK}}{{TS}} = \dfrac{{29 \cdot 5}}{{6 \cdot 7}} \Rightarrow \boxed{\frac{{TS}}{{KS}} = \frac{{6 \cdot 7}}{{6 \cdot 7 + 29 \cdot 5}}}\,\,\,(1)$

$\vartriangle PBK$ , διατέμνουσα $\overline {ASM}$ , έχω: $\boxed{\frac{{KS}}{{SP}} = \frac{{17 \cdot 3}}{7}}\,\,\,(2)$ . Πολλαπλασιάζω τις $(1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2)$ κατά μέλη κι έχω : $\boxed{\frac{{PS}}{{ST}} = \frac{{11}}{{18}}}$ .

#5

KARKAR έγραψε: Σάβ Δεκ 15, 2018 12:02 pm Πολυλογάς.png Υπολογίστε τους λόγους : $\dfrac{AS}{SM}$ και $\dfrac{PS}{ST}$

Από τα

φέρνω παράλληλες στη διάμεσο

που τέμνουν την

στα

αντίστοιχα.

: Πολυλογάς.png (13.19 KiB) Προβλήθηκε 1125 φορές

α) Η

είναι η διάμεσος του τραπεζίου BDEC

οπότε $\boxed{BD+CE=2SM}$ (1)

$\displaystyle \frac{{BD}}{{AS}} = \frac{4}{3},\frac{{CE}}{{AS}} = \frac{5}{6} \Leftrightarrow \frac{{BD + CE}}{{AS}} = \frac{{13}}{6}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} \frac{{2SM}}{{AS}} = \frac{{13}}{6} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{AS}}{{SM}} = \frac{{12}}{{13}}}$

β) $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{PS}}{{PD}} = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow \dfrac{{PS}}{{SD}} = \dfrac{3}{7}\\ \\ \dfrac{{ST}}{{TE}} = \dfrac{6}{{5}} \Leftrightarrow \dfrac{{ST}}{{SE}} = \dfrac{6}{{11}} \end{array} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{SD = SE}$ $\boxed{\frac{{PS}}{{ST}} = \frac{{11}}{{14}}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε: Σάβ Δεκ 15, 2018 12:02 pm Πολυλογάς.png Υπολογίστε τους λόγους : $\dfrac{AS}{SM}$ και $\dfrac{PS}{ST}$

$\displaystyle \frac{{\left( {APT} \right)}}{S} = \frac{{3 \cdot 6}}{{7 \cdot 11}} \Rightarrow \boxed{\left( {APT} \right) = \frac{{18}}{{77}}S}$ και $\displaystyle \frac{{\left( {PBM} \right)}}{{\frac{S}{2}}} = \frac{4}{7} \Rightarrow \boxed{\left( {PBM} \right) = \frac{2}{7}S}$ και $\displaystyle \frac{{\left( {MCT} \right)}}{{\frac{S}{2}}} = \frac{5}{{11}} \Rightarrow \boxed{\left( {MCT} \right) = \frac{5}{{22}}S}$

Άρα $\displaystyle \boxed{\left( {PMT} \right) = \frac{{39}}{{154}}S}$ και $\displaystyle \boxed{\frac{{AS}}{{SM}} = \frac{{\left( {APT} \right)}}{{\left( {PMT} \right)}} = ..\frac{{12}}{{13}}}$

$\displaystyle \frac{{PS}}{{ST}} = \frac{{\left( {APM} \right)}}{{\left( {ATM} \right)}} = \frac{{\frac{3}{7} \cdot \frac{S}{2}}}{{\frac{6}{{11}} \cdot \frac{S}{2}}} \Rightarrow \boxed{\frac{{PS}}{{ST}} = \frac{{11}}{{14}}}$

: πολυλογάς.png (12.43 KiB) Προβλήθηκε 1094 φορές

Altrian · #7

Δεν θα είμαι πολυλογάς.
Φέρνουμε $BQ\left \|EMF\left \|DC\left \|PT$ οπότε $\frac{3}{4}=\frac{6}{TQ}\Rightarrow TQ=8\Rightarrow CQ=3\Rightarrow CF=FQ=1,5$
a) $\frac{AS}{SM}=\frac{AT}{TF}=\frac{6}{6,5}=\frac{12}{13}$
b) $\frac{PS}{ST}=\frac{EM}{MF}=\frac{2EM}{2MF}=\frac{DC}{BQ}=\frac{AC}{AQ}=\frac{11}{14}$

Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης

nickchalkida · #8

Άν

τότε

$\displaystyle{ {PS \over ST} = {(PSA) \over (STA)} = {PD \over TE} = {(PMA) \over (MTA)} = {E - {4E \over 7} \over E - {5E \over 11} } = {11 \over 14} }$

Πολυλογάς

Πολυλογάς

Re: Πολυλογάς

Re: Πολυλογάς

Re: Πολυλογάς

Re: Πολυλογάς

Re: Πολυλογάς

Re: Πολυλογάς

Re: Πολυλογάς

Μέλη σε σύνδεση