Βέλτιστη σταθερά για ανισότητα με διχοτόμους!

#1

Να βρεθεί η βέλτιστη σταθερά $\displaystyle{k,}$ ώστε να ισχύει

$\displaystyle{\frac{\delta _{a}+\delta _{b}}{a+b}<k}$

για κάθε τρίγωνο $\displaystyle{ABC.}$

Με $\displaystyle{\delta _{x}}$ συμβολίζουμε τη διχοτόμο του τριγώνου, η οποία αντιστοιχεί στην πλευρά $\displaystyle{x}$ .

Xriiiiistos · #2

Μια προσπάθεια χωρίς να είμαι σίγουρος πως βρήκα την ελάχιστη λύση

Από θεώρημμα διχοτόμων το δεξί μέλος γράφεται $\frac{\sqrt{cb(\frac{(b+c)^{2}-a^{2}}{(b+c)^{2}})}+\sqrt{ca(\frac{(a+c)^{2}-b^{2}}{(a+c)^{2}})}}{a+b}\leq\frac{\sqrt{\frac{(b+c)^{2}-a^{2}}{4}}+\sqrt{\frac{(a+c)^{2}-b^{2}}{4}}}{a+b}$ (i)

χρεισιμοποιόντας την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ.

a=x+y,b=y+z,c=z+x

έχουμε $\sqrt{(b+c)^{2}-a^{2}}=\sqrt{(b+c-a)(b+c+a)}=\sqrt{4z(x+y+z)}\leq 2z+x+y$ ξανά από την ίδια ανισότητα ομοίως $\sqrt{(a+c)^{2}-b^{2}}\leq y+z+2x$ kai επείσης a+b=2y+z+x

$(i)\leq \frac{2y+3x+3z}{4y+2z+2x}=1+\frac{-2y+x+z}{4y+2z+2x}$

Θα βρούμε το μέγιστο ελάχιστο n ώστε για κάθε θετικό x,y,z να ισχύει $-2y+x+z\leq n(4y+2z+2x)\Leftrightarrow 0\leq (n4+2)y+(2n-1)x+(2n-1)z$ . Αφού ο μόνος περιορισμούς που έχουμε είναι x,y,z> 0

θα πρέπει και οι συντελεστεές τους να είναι θετικοί άρα $n> \frac{1}{2}$
και το ελάχιστο k που βρείκα είναι $k=1+n\approx\frac{3}{2}$

#3

Η σταθερά $\displaystyle{\frac{3}{2}}$ δεν είναι η βέλτιστη. Υπάρχει λίγο περιθώριο ακόμα.

#4

Γνωρίζουμε ότι

$\displaystyle \delta_a^2 = \frac{bc}{(b+c)^2}\left((b+c)^2 - a^2\right) = bc\left(1 - \frac{a^2}{(b+c)^2} \right) < b(a+bb)\left(1 - \frac{a^2}{(a+2b)^2} \right) = 4\frac{b^2(a+b)^2}{(a+2b)^2}$

Άρα

$\displaystyle \delta_a + \delta_b < 2\left( \frac{b}{a+2b} + \frac{a}{b+2a}\right) \leqslant \frac{4}{3}$

Για να δούμε την τελευταία ανισότητα παρατηρούμε ότι

$\displaystyle \begin{aligned} \frac{b}{a+2b} + \frac{a}{b+2a}\leqslant \frac{2}{3} &\Leftrightarrow 3(a^2 + b^2 + 4ab) \leqslant 2(2a^2 + 2b^2 + 5ab) \\ &\Leftrightarrow 2ab \leqslant a^2+b^2 \end{aligned}$

To k = 4/3

δεν βελτιώνεται. Πράγματι αν πάρουμε ένα τρίγωνο με a=b=1

και $c = 2-\varepsilon$ τότε το $\displaystyle \frac{\delta_a + \delta_b}{a+b}$ τείνει στο 4/3

όταν το $\varepsilon$ τείνει στο

.

Βέλτιστη σταθερά για ανισότητα με διχοτόμους!

Βέλτιστη σταθερά για ανισότητα με διχοτόμους!

Re: Βέλτιστη σταθερά για ανισότητα με διχοτόμους!

Re: Βέλτιστη σταθερά για ανισότητα με διχοτόμους!

Re: Βέλτιστη σταθερά για ανισότητα με διχοτόμους!

Μέλη σε σύνδεση