Ψάχνουμε τον εκθέτη

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x\sqrt{|x|},x \in R.$

Να βρεθεί ο μεγαλύτερος δυνατός θετικός εκθέτης

mikemoke · #2

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 02, 2019 5:44 pm
Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x\sqrt{|x|},x \in R.$

Να βρεθεί ο μεγαλύτερος δυνατός θετικός εκθέτης για τον οποίον υπάρχουν σταθερές $C\geq 0,a>0$ ώστε να ισχύει

$\left | f(x)-f(x_0) \right |\leq C\left | x-x_0 \right |^k,(x_0 \in R)$ για κάθε $x \in R$ με $\left | x-x_0 \right |<a.$

Edit: Μελετήστε το πρόβλημα για οποιοδήποτε πραγματικό

Έχουμε

και $f'(x)=\frac{3\sqrt{|x|}}{2},x\neq0$
$\lim_{x\rightarrow x_0+}\frac{f(x)-f(x_0)}{|x-x_0|^k}=\lim_{x\rightarrow x_0+}\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^k}=\lim_{x\rightarrow x_0+}\frac{f'(x)}{k|x-x_0|^{k-1}}=L$ (1)
$\lim_{x\rightarrow x_0-}\frac{f(x)-f(x_0)}{|x-x_0|^k}=\lim_{x\rightarrow x_0+}\frac{f(x)-f(x_0)}{(x_0-x)^k}=\lim_{x\rightarrow x_0+}\frac{f'(x)}{-k|x-x_0|^{k-1}}=-L$ (2)
Για $x_0\neq0 :f'(x_0)>0$ και $\lim_{x\rightarrow x_0}f'(x)=f'(x_0)>0$
Για $k>1:L=+\infty$
Άρα $\forall C\geq 0\forall a>0 \exists x\in (x_0-a,x_0+a):|f(x)-f(x_0)|>C|x-x_0|^k$
Για k=1:L=f'(x_0)>0

(3)
Από ε-δ ορισμό ορίου και (1),(2),(3)
$\exists \epsilon >0 \exists \delta >0\forall x\in (x_0-\delta ,x_0)\cup (x_0,x_0+\delta ): |\frac{f(x)-f(x_0)}{|x-x_0|^k}|<L+\epsilon$
Θέτουμε $a=\delta$ και $C=L+\epsilon$ και ισχύει :
$\forall x\in (x_0-a,x_0+a):\left | f(x)-f(x_0) \right |\leq C\left | x-x_0 \right |^k$

Για $x_0\neq0:L=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{3\sqrt{|x|}}{2k|x|^{k-1}}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{3}{2k|x|^{k-\frac{3}{2}}}$
Για $k>\frac{3}{2}:L=+\infty$
$k=\frac{3}{2}:L=\frac{3}{2k}>0$
Από ε-δ ορισμό ορίου $\exists \epsilon >0\exists \delta >0\forall x\in(x_0-\delta )\cup (x_0,x_0+\delta ): -L-\epsilon <L-\epsilon <\frac{f(x)-f(x_0)}{|x-x_0|^k}<L+\epsilon$
ομοίως ...

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

mikemoke έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 03, 2019 7:13 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 02, 2019 5:44 pm
Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x\sqrt{|x|},x \in R.$

Να βρεθεί ο μεγαλύτερος δυνατός θετικός εκθέτης για τον οποίον υπάρχουν σταθερές $C\geq 0,a>0$ ώστε να ισχύει

$\left | f(x)-f(x_0) \right |\leq C\left | x-x_0 \right |^k,(x_0 \in R)$ για κάθε $x \in R$ με $\left | x-x_0 \right |<a.$

Edit: Μελετήστε το πρόβλημα για οποιοδήποτε πραγματικό
Έχουμε και $f'(x)=\frac{3\sqrt{|x|}}{2},x\neq0$
$\lim_{x\rightarrow x_0+}\frac{f(x)-f(x_0)}{|x-x_0|^k}=\lim_{x\rightarrow x_0+}\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^k}=\lim_{x\rightarrow x_0+}\frac{f'(x)}{k|x-x_0|^{k-1}}=L$ (1)
$\lim_{x\rightarrow x_0-}\frac{f(x)-f(x_0)}{|x-x_0|^k}=\lim_{x\rightarrow x_0+}\frac{f(x)-f(x_0)}{(x_0-x)^k}=\lim_{x\rightarrow x_0+}\frac{f'(x)}{-k|x-x_0|^{k-1}}=-L$ (2)
Για $x_0\neq0 :f'(x_0)>0$ και $\lim_{x\rightarrow x_0}f'(x)=f'(x_0)>0$
Για $k>1:L=+\infty$
Άρα $\forall C\geq 0\forall a>0 \exists x\in (x_0-a,x_0+a):|f(x)-f(x_0)|>C|x-x_0|^k$
Για (3)
Από ε-δ ορισμό ορίου και (1),(2),(3)
$\exists \epsilon >0 \exists \delta >0\forall x\in (x_0-\delta ,x_0)\cup (x_0,x_0+\delta ): |\frac{f(x)-f(x_0)}{|x-x_0|^k}|<L+\epsilon$
Θέτουμε $a=\delta$ και $C=L+\epsilon$ και ισχύει :
$\forall x\in (x_0-a,x_0+a):\left | f(x)-f(x_0) \right |\leq C\left | x-x_0 \right |^k$

Για $x_0\neq0:L=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{3\sqrt{|x|}}{2k|x|^{k-1}}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{3}{2k|x|^{k-\frac{3}{2}}}$
Για $k>\frac{3}{2}:L=+\infty$
$k=\frac{3}{2}:L=\frac{3}{2k}>0$
Από ε-δ ορισμό ορίου $\exists \epsilon >0\exists \delta >0\forall x\in(x_0-\delta )\cup (x_0,x_0+\delta ): -L-\epsilon <L-\epsilon <\frac{f(x)-f(x_0)}{|x-x_0|^k}<L+\epsilon$
ομοίως ...

Δεν βλέπω ποιο είναι το

mikemoke · #4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 03, 2019 7:23 pm

mikemoke έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 03, 2019 7:13 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 02, 2019 5:44 pm
Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x\sqrt{|x|},x \in R.$

Να βρεθεί ο μεγαλύτερος δυνατός θετικός εκθέτης για τον οποίον υπάρχουν σταθερές $C\geq 0,a>0$ ώστε να ισχύει

$\left | f(x)-f(x_0) \right |\leq C\left | x-x_0 \right |^k,(x_0 \in R)$ για κάθε $x \in R$ με $\left | x-x_0 \right |<a.$

Edit: Μελετήστε το πρόβλημα για οποιοδήποτε πραγματικό
Έχουμε και $f'(x)=\frac{3\sqrt{|x|}}{2},x\neq0$
$\lim_{x\rightarrow x_0+}\frac{f(x)-f(x_0)}{|x-x_0|^k}=\lim_{x\rightarrow x_0+}\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^k}=\lim_{x\rightarrow x_0+}\frac{f'(x)}{k|x-x_0|^{k-1}}=L$ (1)
$\lim_{x\rightarrow x_0-}\frac{f(x)-f(x_0)}{|x-x_0|^k}=\lim_{x\rightarrow x_0+}\frac{f(x)-f(x_0)}{(x_0-x)^k}=\lim_{x\rightarrow x_0+}\frac{f'(x)}{-k|x-x_0|^{k-1}}=-L$ (2)
Για $x_0\neq0 :f'(x_0)>0$ και $\lim_{x\rightarrow x_0}f'(x)=f'(x_0)>0$
Για $k>1:L=+\infty$
Άρα $\forall C\geq 0\forall a>0 \exists x\in (x_0-a,x_0+a):|f(x)-f(x_0)|>C|x-x_0|^k$
Για (3)
Από ε-δ ορισμό ορίου και (1),(2),(3)
$\exists \epsilon >0 \exists \delta >0\forall x\in (x_0-\delta ,x_0)\cup (x_0,x_0+\delta ): |\frac{f(x)-f(x_0)}{|x-x_0|^k}|<L+\epsilon$
Θέτουμε $a=\delta$ και $C=L+\epsilon$ και ισχύει :
$\forall x\in (x_0-a,x_0+a):\left | f(x)-f(x_0) \right |\leq C\left | x-x_0 \right |^k$

Για $x_0\neq0:L=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{3\sqrt{|x|}}{2k|x|^{k-1}}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{3}{2k|x|^{k-\frac{3}{2}}}$
Για $k>\frac{3}{2}:L=+\infty$
$k=\frac{3}{2}:L=\frac{3}{2k}>0$
Από ε-δ ορισμό ορίου $\exists \epsilon >0\exists \delta >0\forall x\in(x_0-\delta )\cup (x_0,x_0+\delta ): -L-\epsilon <L-\epsilon <\frac{f(x)-f(x_0)}{|x-x_0|^k}<L+\epsilon$
ομοίως ...

Δεν βλέπω ποιο είναι το

Nαι ξεχάστηκα .Για $x_0=0:k=\frac{3}{2}$ και για $x_0 \neq0:k=1$ .
Aυτό επειδή για $x_0 \neq 0 :\forall C\geq 0\forall a>0 \exists x\in (x_0-a,x_0+a):|f(x)-f(x_0)|>C|x-x_0|^k$ αν k>1

και για $k=1 : \forall x\in (x_0-a,x_0+a):\left | f(x)-f(x_0) \right |\leq C\left | x-x_0 \right |^k$
ομοίως για x_0=0

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 02, 2019 5:44 pm
Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=x\sqrt{|x|},x \in R.$

Να βρεθεί ο μεγαλύτερος δυνατός θετικός εκθέτης για τον οποίον υπάρχουν σταθερές $C\geq 0,a>0$ ώστε να ισχύει

$\left | f(x)-f(x_0) \right |\leq C\left | x-x_0 \right |^k,(x_0 \in R)$ για κάθε $x \in R$ με $\left | x-x_0 \right |<a.$

Edit: Μελετήστε το πρόβλημα για οποιοδήποτε πραγματικό

Ας δούμε μια λύση χωρίς παραγώγους και όρια.

Αν x_0=0

Είναι $|f(x)-f(0)|=|x|^{\frac{3}{2}}$

Για C=1,a>0

εχουμε ότι το $k=\frac{3}{2}$ κάνει την δουλειά.

Αν ίσχυε $|f(x)|\leq C|x|^{\frac{3}{2}+\epsilon },\epsilon > 0$

για |x|< a,a> 0

τότε παίρνοντας $|x|< min(a,(\frac{1}{C})^{\frac{1}{\epsilon }})$

θα είχαμε ΑΤΟΠΟ.

Αρα $k=\frac{3}{2}$ .

Εστω x_0>0

.

Για $a=x_{0}$

είναι

$|f(x)-f(x_{0})|=|x\sqrt{x}-x_{0}\sqrt{x_{0}}|=|x-x_{0}|\dfrac{x^{2}+xx_{0}+x_{0}^{2}}{x\sqrt{x}+x_{0}\sqrt{x_{0}}}(1)$

Αφου $|x-x_{0}|<x_{0}$

προκύπτει ότι $0< x< 2x_{0}$

Η (1) δίνει $|f(x)-f(x_{0})|\leq 7\sqrt{x_{0}}|x-x_{0}|$

Το k=1

κάνει την δουλειά για $a=x_{0},C=7\sqrt{x_{0}}$

Γράφοντας $x^{2}+xx_{0}+x_{0}^{2}=(x+\frac{x_{0}}{2})^{2}+\frac{3}{4}x_{0}^{2}$

και λόγω της $0< x< 2x_{0}$ η (1) δίνει

$|f(x)-f(x_{0})|\geq |x-x_{0}|\dfrac{\frac{3}{4}x_{0}^{2}}{5x_{0}\sqrt{x_{0}}}=|x-x_{0}|\frac{3}{20}\sqrt{x_{0}}$ (2)

Αν λοιπόν $|f(x)-f(x_{0})|\leq C|x-x_{0}|^{1+\epsilon }$

για $|x-x_{0}|< a$

παίρνοντας $|x-x_{0}|< min(a,(\frac{3\sqrt{x_{0}}}{20C})^{\frac{1}{\epsilon }})$

θα έχουμε ΑΤΟΠΟ από την (2).

Αρα k=1

Επειδή η συνάρτηση είναι περιττή τα ίδια δουλεύουν για x_0<0

.

Δηλαδή k=1

και

$a=-x_{0},C=7\sqrt{-x_{0}}$

Ψάχνουμε τον εκθέτη

Ψάχνουμε τον εκθέτη

Re: Ψάχνουμε τον εκθέτη

Re: Ψάχνουμε τον εκθέτη

Re: Ψάχνουμε τον εκθέτη

Re: Ψάχνουμε τον εκθέτη

Μέλη σε σύνδεση