Σύστημα δύο εξισώσεων και τεσσάρων αγνώστων

#1

Να επιλυθεί στους πραγματικούς το σύστημα

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x+y+z+w=6\\\\ \sqrt {1-x^2}+ \sqrt {4-y^2}+ \sqrt {9-z^2} + \sqrt {16-w^2}= 8 \end{matrix}\right.}$

(Δεν ξέρω την προέλευσή της. Εμένα μου την έστειλε κάποιος από Ρουμανία, ζητώντας λύση. Έκανα μία πολλή σύντομη.)

Τσιαλας Νικολαος · #2

Κύριε Μιχάλη καλησπέρα και καλή χρονιά! Έχει πέσει αν θυμάμαι καλά σε κάποιο διαγωνισμό. Είμαι σίγουρος ότι την έχω λύσει με τα παιδιά αλλά δεν θυμάμαι την προελευση της. Αύριο θα προσπαθήσω να την βρω

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 06, 2019 2:15 pm
Να επιλυθεί στους πραγματικούς το σύστημα

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x+y+z+w=6\\\\ \sqrt {1-x^2}+ \sqrt {4-y^2}+ \sqrt {9-z^2} + \sqrt {16-w^2}= 8 \end{matrix}\right.}$

(Δεν ξέρω την προέλευσή της. Εμένα μου την έστειλε κάποιος από Ρουμανία, ζητώντας λύση. Έκανα μία πολλή σύντομη.)

Ας δούμε μια λύση.

Θέτοντας $x=\cos \theta _{1},y=2\cos \theta _{2},z=3\cos \theta _{3},w=4\cos \theta _{4}$

με $\theta _{i}\in [0,\pi ]$

τότε έχουμε

$\cos \theta _{1}+2\cos \theta _{2}+3\cos \theta _{3}+4\cos \theta _{4}=6$

και

$\sin \theta _{1}+2\sin \theta _{2}+3\sin \theta _{3}+4\sin \theta _{4}=8$

Αν θέσουμε
$z_{i}=\cos \theta _{i}+\sin \theta _{i}$

εχουμε ότι

$\left | z_{i} \right |=1$

και
$z_{1}+2z_{2}+3z_{3}+4z_{4}=6+i8$

Επειδή $\left | 6+8i \right |=10$

εχουμε ισότητα στην τριγωνική.

Προκύπτει ότι $z_{1}=z_{2}=z_{3}=z_{4}$

οπότε

$\cos \theta _{1}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$

και αντικαθιστώντας βρίσκουμε

$x=\frac{3}{5},y=\frac{6}{5},z=\frac{9}{5},w=\frac{12}{5}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 06, 2019 2:28 pm
Κύριε Μιχάλη καλησπέρα και καλή χρονιά! Έχει πέσει αν θυμάμαι καλά σε κάποιο διαγωνισμό. Είμαι σίγουρος ότι την έχω λύσει με τα παιδιά αλλά δεν θυμάμαι την προελευση της. Αύριο θα προσπαθήσω να την βρω

Κάπου στην αρχική σελίδα είναι γραμμένο το εξής:

2. Οι απαντήσεις πρέπει να είναι κατά τα δυνατόν πλήρεις να αποφεύγονται οι υποδείξεις και η παράθεση μόνο του αποτελέσματος. Απαντήσεις που έχουν ελλιπή στοιχεία, δίνουν το αποτέλεσμα, περιλαμβάνουν σχόλια για την άσκηση, ενημερωτικές πληροφορίες κτλ χωρίς να παραθέτουν ή να παραπέμπουν στην λύση δημιουργούν σύγχυση και ενδεχομένως αποτρέπουν άλλα μέλη να προσπαθήσουν μία λύση ή να παρουσιάσουν μία λύση που ήδη έχουν ετοιμάσει. Για τους λόγους αυτούς οι τυχόν σχολιασμοί των ασκήσεων καλόν είναι να μπαίνουν αφού δοθεί λύση.

#5

Μια ακόμα λύση:

Λήμμα:

Για πραγματικούς για τους οποίους έχουν νόημα τα παρακάτω, ισχύει

$\displaystyle{\sqrt{a^2-b^2}+\sqrt{c^2-d^2}\leq \sqrt{(a+c)^2-(b+d)^2}.}$

Πράγματι, μετα από τις υψώσεις στο τετράγωνο, καταλήγουμε στην $\displaystyle{(ac-bd)^2\geq 0.}$

Η ισότητα ισχύει αν-ν τα ζεύγη $\displaystyle{(a,b),(c,d)}$ είναι ανάλογα.

Μάλιστα, είναι φανερό επαγωγικά ότι η παραπάνω ανισότητα επεκτείνεται:

$\displaystyle{\sqrt{x_1 ^2-y_1 ^2}+\sqrt{x_2 ^2-y_2 ^2}+\cdots +\sqrt{x_n ^2-y_n ^2}\leq \sqrt{(x_1+x_2+\cdots +x_n)^2-(y_1+y_2+\cdots +y_n)^2}.}$

Πάλι, η ισότητα ισχύει μόνο αν τα ζεύγη $\displaystyle{(x_j,y_j), j=1,2,...,n}$ είναι ανάλογα.

Πάμε στο σύστημα:

Είναι

$\displaystyle{8=\sqrt {1-x^2}+ \sqrt {4-y^2}+ \sqrt {9-z^2} + \sqrt {16-w^2}=\sqrt {1^2-x^2}+ \sqrt {2^2-y^2}+ \sqrt {3^2-z^2} + \sqrt {4^2-w^2}\leq }$

$\displaystyle{\sqrt{(1+2+3+4)^2-(x+y+z+w)^2}=8.}$

Άρα ισχύει ως ισότητα, οπότε έχουμε την αναλογία

$\displaystyle{\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}=\frac{w}{4}:=k,}$

η οποία, από την $\displaystyle{x+y+z+w=6,}$ δίνει $\displaystyle{k=\frac{3}{5}.}$

#6

Ας το δούμε κι έτσι.

: Σύστημα.png (13.16 KiB) Προβλήθηκε 1306 φορές

$\displaystyle \frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3} = \frac{w}{4} = \frac{6}{{10}}$ κλπ...

#7

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 06, 2019 2:15 pm
Να επιλυθεί στους πραγματικούς το σύστημα

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x+y+z+w=6\\\\ \sqrt {1-x^2}+ \sqrt {4-y^2}+ \sqrt {9-z^2} + \sqrt {16-w^2}= 8 \end{matrix}\right.}$

Η δική μου λύση. Κατά βάθος είναι, κρυφά, ουσιαστικά η ίδια με τις τρεις προηγούμενες.

Γράφουμε την συνθήκη ως ισότητα διανυσμάτων:

$\displaystyle{( x, \, \sqrt {1-x^2})+ (y, \, \sqrt {4-y^2})+ (z,\, \sqrt {9-z^2}) + (w, \, \sqrt {16-w^2}) = (6,8)}$ .

Τα διανύσματα αριστερά έχουν μήκος $1, \, 2 , \, 3, \,4$ , αντίστοιχα, και το δεξί

. Παρατηρούμε ότι 1+2+3+4=10

, δηλαδή τα διανύσματα αριστερά έχουν συνολικό μήκος όσο το δεξί, που σημαίνει ότι έχουμε περίπτωση ισότητας στην τριγωνική ανισότητα. Έπεται ότι τα διανύσματα είναι συνευθειακά. Τα υπόλοιπα απλά (άλλωστε υπάρχουν και στις τρεις παραπάνω λύσεις).

S.E.Louridas · #8

Ας δούμε και αυτή τη διαπραγμάτευση:

Από B-C-S (και μετά από τους προφανείς περιορισμούς λόγω υπόρριζων) έχουμε, $64 = {\left( {\sqrt {1 - x} \sqrt {1 + x} + \sqrt {2 - y} \sqrt {2 + y} + \sqrt {3 - z} \sqrt {3 + z} + \sqrt {4 - w} \sqrt {4 + w} } \right)^2} \leqslant$ $\leqslant \left[ {{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^2} + ... + {{\left( {\sqrt {4 - w} } \right)}^2}} \right]\left[ {{{\left( {\sqrt {1 + x} } \right)}^2} + ... + {{\left( {\sqrt {4 + w} } \right)}^2}} \right] = 64.$
Έτσι έχουμε την ισότητα, άρα παίρνουμε την αναλογία: $\displaystyle{\frac{{\sqrt {1 - x} }}{{\sqrt {1 + x} }} = ... = \frac{{\sqrt {4 - w} }}{{\sqrt {4 + w} }} \Rightarrow \frac{{1 - x}}{{1 + x}} = ... = \frac{{4 - w}}{{4 + w}} = \frac{1}{4} \Rightarrow \left( {x = \frac{3}{5},y = \frac{6}{5},z = \frac{9}{5},w = \frac{{12}}{5}} \right).}$

Σύστημα δύο εξισώσεων και τεσσάρων αγνώστων

Σύστημα δύο εξισώσεων και τεσσάρων αγνώστων

Re: Σύστημα δύο εξισώσεων και τεσσάρων αγνώστων

Re: Σύστημα δύο εξισώσεων και τεσσάρων αγνώστων

Re: Σύστημα δύο εξισώσεων και τεσσάρων αγνώστων

Re: Σύστημα δύο εξισώσεων και τεσσάρων αγνώστων

Re: Σύστημα δύο εξισώσεων και τεσσάρων αγνώστων

Re: Σύστημα δύο εξισώσεων και τεσσάρων αγνώστων

Re: Σύστημα δύο εξισώσεων και τεσσάρων αγνώστων

Μέλη σε σύνδεση