Καρτεσιανές αναζητήσεις

KARKAR · #1

: Καρτεσιανές αναζητήσεις.png (22.93 KiB) Προβλήθηκε 637 φορές

Το

είναι σημείο τομής των κύκλων : x^2+y^2=36

και :

.

Από το

διέρχεται μεταβλητή ευθεία , η οποία τέμνει τους δύο κύκλους στα σημεία S,P

.

Βρείτε την καρτεσιανή έκφραση του γεωμετρικού τόπου , του μέσου

του τμήματος

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 07, 2019 11:26 am
Καρτεσιανές αναζητήσεις.pngΤο είναι σημείο τομής των κύκλων : και : .

Από το διέρχεται μεταβλητή ευθεία , η οποία τέμνει τους δύο κύκλους στα σημεία .

Βρείτε την καρτεσιανή έκφραση του γεωμετρικού τόπου , του μέσου του τμήματος .

Απάντηση: Είναι το κάτω ημικύκλιο διαμέτρου

, δηλαδή

.

Θα το κάνω λίγο γενικότερα για κύκλους ακτίνων r,R

στην θέση των δοθέντων. Επίσης, θα
εργαστώ με κλασσική Γεωμετρία για να θυμηθούμε τις παλιές τεχνικές, αν και η λύση με Αναλυτική
είναι και αυτή ενδιαφέρουσα.

Αν $T,\,U$ οι προβολές των $O, \, K$ στην

, οπότε $ST=TA, \, AU=UP$ έχουμε

OM^2= OT^2+TM^2=r^2-TA^2+TM^2=r^2-(TA-TM)(TA+TM)=

$=r^2-MA(TS+TM)=r^2-MA\cdot SM$ .

Όμοια

KM^2= KU^2+UM^2=R^2-UA^2+UM^2=R^2+(UM-UA)(UM+UA)=

$=R^2+MA(UM+UP)=R^2+MA\cdot PM$ .

Aλλά SM=MP

οπότε προσθέτοντας κατά μέλη

OM^2+KM^2=r^2+R^2=

σταθερό. Άρα έχουμε ότι το

κινείται επί κύκλου διαμέτρου

. Και λοιπά.

(Υπόψη ότι και το

είναι σημείο του τόπου καθώς OA^2+KA^2= r^2+R^2

).

#3

: Καρτεσιανές αναζητήσεις _1.png (18.28 KiB) Προβλήθηκε 571 φορές

Έστω

το άλλο σημείο τομής των δύο κύκλων που επειδή το $\vartriangle AKO \to (8,10,6)$ είναι ορθογώνιο θα είναι ορθογώνιο και το όμοιό του $\vartriangle BPS$ στο

.

Οι κάθετες από τα $O\,\,\kappa \alpha \iota \,\,K$ ( προς τις χορδές BS,BP

) θα διέρχονται από τα μέσα των χορδών $BS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BP$ άρα θα συντρέχουν στο μέσο

του

.

Δηλαδή $\widehat {OMK} = 90^\circ$ και άρα το

ανήκει στο κύκλο διαμέτρου

Καρτεσιανές αναζητήσεις

Καρτεσιανές αναζητήσεις

Re: Καρτεσιανές αναζητήσεις

Re: Καρτεσιανές αναζητήσεις

Μέλη σε σύνδεση