Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Tolaso J Kos · #1

Η άσκηση του Σταύρου εδώ μου θύμισε τρεις ασκήσεις. Οι δύο μου είναι γνωστές από το Λύκειο και θα ανέβουν όταν λυθεί η άσκηση. Τη τρίτη τη δίδω εδώ. Έρχεται φυσικά με όνομα. Θα δοθεί όταν λυθεί, αν δεν έχει δοθεί μέχρι τότε.

Έστω $\lambda>0$ και $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ συνάρτηση με δεύτερη συνεχή παράγωγο ώστε $f''(x)\geq \lambda$ . Δείξατε ότι:

$\displaystyle{\left | \int_{\alpha}^{\beta} e^{i f(x)} \, \mathrm{d}x \right | \leq 4 \cdot \sqrt{\frac{2}{\lambda}} \quad \quad \text{\gr για κάθε}\quad \quad \alpha, \beta \in \mathbb{R}}$

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Tolaso J Kos έγραψε: Δευ Ιαν 07, 2019 8:32 pm Η άσκηση του Σταύρου εδώ μου θύμισε τρεις ασκήσεις. Οι δύο μου είναι γνωστές από το Λύκειο και θα ανέβουν όταν λυθεί η άσκηση. Τη τρίτη τη δίδω εδώ. Έρχεται φυσικά με όνομα. Θα δοθεί όταν λυθεί, αν δεν έχει δοθεί μέχρι τότε.

Έστω $\lambda>0$ και $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ συνάρτηση με δεύτερη συνεχή παράγωγο ώστε $f''(x)\geq \lambda$ . Δείξατε ότι:

$\displaystyle{\left | \int_{\alpha}^{\beta} e^{i f(x)} \, \mathrm{d}x \right | \leq 4 \cdot \sqrt{\frac{2}{\lambda}} \quad \quad \text{\gr για κάθε}\quad \quad \alpha, \beta \in \mathbb{R}}$

Τόλη καλημέρα. Βγάζω λίγο μεγαλύτερο φράγμα.Χαλάλι πάντως το ένα πακέτο Α4 που χάλασα.

Ήταν καλή.

Καταρχάς θα υποθέσω ότι η παράγωγος μηδενίζεται σε εσωτερικό σημείο x_0

του

.

Θα χρησιμοποιήσω τα παρακάτω αποτελέσματα:

1. $|z|= \sqrt{(Rez)^2+(Imz)^2},z \in C$

2. Αν $\varepsilon >0$ ώστε $(x_0-\varepsilon ,x_0+\varepsilon )\subset [a,b]$ και ${f}''(x)\geqslant \lambda >0$ τότε $|{f}'(x)|\geq \varepsilon \lambda$ στο $[a,x_0-\varepsilon ]\cup [x_0+\varepsilon ,b].$

(Δες σχήμα πως το σκέφτηκα. Έχει πολύ απλή γεωμετρική εξήγηση)

Την τελευταία θα την χρησιμοποιήσουμε για να μπορέσουμε πάρουμε φράγμα ανεξάρτητο από τα άκρα ολοκλήρωσης. (δύσκολο σημείο της άσκησης)

Καταρχάς

$\displaystyle\left | \int_{\alpha}^{\beta}\cos f(x) \mathrm{d}x \right |,\left | \int_{\alpha}^{\beta}\sin f(x) \mathrm{d}x \right |\leq b-a:=M$

Παίρνοντας τώρα κατάλληλο $\varepsilon>0$ σπάμε το [a,b]

στα διαστήματα $\displaystyle[a,x_0-\varepsilon ],[x_0-\varepsilon ,x_0+\varepsilon ],[x_0+\varepsilon ,b]$ και κάθε ολοκλήρωμα στα τρία.

Έτσι παίρνουμε

$\displaystyle \int_{\alpha}^{x_0-\varepsilon }\cos f(x) \mathrm{d}x = \int_{\alpha}^{x_0-\varepsilon }\frac{{f}'(x)}{{f}'(x)}\cos f(x) \mathrm{d}x = \frac{\sin f(x_0-\varepsilon )}{{f}'(x_0-\varepsilon)}- \frac{\sin f(a )}{{f}'(a)}+ \int_{\alpha}^{x_0-\varepsilon }\frac{{f}''(x)}{({f}'(x))^2}\cos f(x) \mathrm{d}x.$

Παίρνοντας απόλυτη τιμή σε κάθε μέλος και εφαρμόζοντας την τριγωνική καταλήγουμε στην

$\displaystyle \left |\int_{\alpha}^{x_0-\varepsilon }\cos f(x) \mathrm{d}x \right |= \frac{1}{\left |{f}'(x_0-\varepsilon) \right |}+ \frac{1}{\left |{f}'(a) \right |}+ \int_{\alpha}^{x_0-\varepsilon }\frac{{f}''(x)}{({f}'(x))^2} \mathrm{d}x$

$\displaystyle=\frac{1}{\left |{f}'(x_0-\varepsilon) \right |}+ \frac{1}{\left |{f}'(a) \right |}- \frac{1}{\left {f}'(x_0-\varepsilon) \right }+ \frac{1}{\left {f}'(a) \right } = \frac{2}{\left |{f}'(x_0-\varepsilon) \right | }\leq \frac{2}{\varepsilon \lambda}.$

Διαφορετικός τρόπος να πάρουμε άνω φράγμα είναι το 2ο ΘΜΤΟΛ (δες Παπαδημητράκη άσκηση 7.3.16)

Με τον ίδιο τρόπο καταλήγουμε ότι

$\displaystyle \left |\int_{\alpha}^{x_0-\varepsilon }\sin f(x) \mathrm{d}x \right |\leq \frac{2}{\varepsilon \lambda }$ καθώς επίσης και

$\displaystyle\left | \int_{x_0+\varepsilon }^{\beta}\cos f(x) \mathrm{d}x \right |,\left | \int_{x_0+\varepsilon}^{\beta}\sin f(x) \mathrm{d}x \right |\leq\frac{2}{\varepsilon \lambda }.$

Στο μεσαίο διάστημα έχουμε απλά $\displaystyle \left |\int_{x_0-\varepsilon }^{x_0+\varepsilon }\cos f(x) \mathrm{d}x \right |,\left |\int_{x_0-\varepsilon }^{x_0+\varepsilon }\sin f(x) \mathrm{d}x \right | \leq 2\varepsilon$

Τελικά

$\displaystyle \left |\int_{a }^{b }\cos f(x) \mathrm{d}x \right |\leq \left | \int_{a }^{x_0-\varepsilon }\cos f(x) \mathrm{d}x \right | \right |+ \left |\int_{x_0-\varepsilon }^{x_0+\varepsilon }\cos f(x) \mathrm{d}x \right |+ \displaystyle \left |\int_{x_0+\varepsilon }^{b }\cos f(x) \mathrm{d}x \right |\leq \frac{4}{\lambda\varepsilon } +2\varepsilon$

και όμοια $\displaystyle \left |\int_{a }^{b }\sin f(x) \mathrm{d}x \right |\leq \frac{4}{\lambda\varepsilon } +2\varepsilon$ .

Δείξαμε λοιπόν ότι $\displaystyle\left | \int_{\alpha}^{\beta} e^{i f(x)} \, \mathrm{d}x \right |=\sqrt{\left (\int_{\alpha}^{\beta} \cos f(x) \, \mathrm{d}x \right )^2+\left (\int_{\alpha}^{\beta} \sin f(x) \, \mathrm{d}x \right )^2}\leq \sqrt{2\left ( \frac{4}{\varepsilon \lambda } +2\varepsilon \right )^2}=\sqrt{2}\left ( \frac{4}{\varepsilon \lambda } +2\varepsilon \right ).$

Το τελευταίο ισχύει για αυθαίρετο $\varepsilon>0$ ώστε $(x_0-\varepsilon ,x_0+\varepsilon )\subset [a,b]$ και το φράγμα λειτουργεί ομοιόμορφα στο [a,b]

.

Επιλέγουμε λοιπόν εκείνο το $\varepsilon$ που ελαχιστοποιεί το φράγμα. Από AM-GM

παίρνουμε $\frac{4}{\lambda \varepsilon } +2\varepsilon\geq 2\sqrt{\frac{4}{\lambda \varepsilon }\cdot 2\varepsilon}=4\sqrt{\frac{2}{\lambda }}$ .

Άρα $\displaystyle\left | \int_{\alpha}^{\beta} e^{i f(x)} \, \mathrm{d}x \right | \leq \min (\sqrt{2}M,\frac{8}{\sqrt{\lambda}})$

Η περίπτωση όπου το σημείο μηδενισμού της παραγώγου είναι άκρο δίνει ''σπάσιμο'' σε δύο διαστήματα και η περίπτωση όπου η παράγωγος διατηρεί πρόσημο δουλεύει με τον ίδιο τρόπο πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας με την παράγωγο μέσα στα ολοκληρώματα.

Tolaso J Kos · #3

Γράφω από κινητό και δε μπορώ να γράψω πολλά πράματα. Λάμπρο , σε ευχαριστώ για τη λύση. Το πρόβλημα έχει όνομα. Καλείται Van Der Corput Lemma.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Το γεωμετρικό στην ανάρτηση του Λάμπρου είναι στην ουσία ένα ΘΜΤ.

Το λήμμα του van der Corput
το χρησιμοποίησε ο Hille το 1929 για να δώσει πιο απλή απόδειξη
στο αποτέλεσμα των Hardy-Littlewood που είναι

Η σειρά

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }e^{icn\log n}\frac{e^{inx}}{n^{\frac{1}{2}+a}}$

για $c\neq 0,0<a<1$

συγκλίνει ομοιόμορφα σε μια συνάρτηση $f_{a}(x)\in Lipa$
(δηλαδή $|f_{a}(x)-f_{a}(y)|\leq C|x-y|^{a}$ )

Το αποτέλεσμα αυτό έχει σχέση με παραδείγματα για την απόλυτη σύγκλιση των
σειρών Fourier

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Για να δούμε πώς η απόδειξη του Λάμπρου Κατσάπα μπορεί να δώσει την σταθερά του Τόλη.
Είναι

$\displaystyle| \int_{a}^{b} e^{i f(x)} dx |=e^{ic}\int_{a}^{b} e^{i f(x)} dx =\int_{a}^{b} e^{i (f(x)+c)}dx=\int_{a}^{b} \cos (f(x)+c) dx$

Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Re: Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Re: Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Re: Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Re: Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση