όριο

#1

Ζητάμε, με όσο πιο απλά μέσα γίνεται, το όριο στο μηδέν του κλάσματος:

$\dfrac{(cosx)^{sinx}-\sqrt{1-x^3}}{x^6}$

Tolaso J Kos · #2

rek2 έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 09, 2019 4:22 pm
Ζητάμε, με όσο πιο απλά μέσα γίνεται, το όριο στο μηδέν του κλάσματος:

$\dfrac{(cosx)^{sinx}-\sqrt{1-x^3}}{x^6}$

Λίγο βιαστικά. Αναπτύσσουμε σε Taylor τον αριθμητή και έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \frac{\left ( \cos x \right )^{\sin x} - \sqrt{1-x^3}}{x^6} &\sim \frac{\left (1-\frac{x^3}{2}+\frac{x^6}{8}+ \mathcal{O}(x^7) \right ) - \left ( 1-\frac{x^3}{2} - \frac{x^6}{8} + \mathcal{O} \left ( x^7 \right )\right)}{x^6} \\ &\sim \frac{\frac{2x^6}{8} + \mathcal{O}\left ( x^7 \right )+\mathcal{O}\left ( x^7\right )}{x^6} \\ &\sim \frac{2x^6}{8 x^6} +\mathcal{O}(x) \\ &=\frac{1}{4} +\mathcal{O}(x) \end{aligned}}$
που είναι και το ζητούμενο όριο.

Κώστα, τώρα αν με τα "απλά μέσα" εννοείς Λυκειακές μεθόδους .... good luck!

#3

Τόλη, δεν αμφιβάλλω ότι η μέθοδός σου έγινε με λογισμικό (γιατί η σειρά Taylor της $(cos x) ^ {sin x}$ , αν και θεωρητικά απλή, έχει πολλές πράξεις), οπότε δεν μετράει με κανένα κριτήριο.

Υπάρχει προσιτή μέθοδος αλλά έχει επίπονη πληκτρολόγιση. Αν μπορέσω να συντομεύσω αυτήν που έχω στον νου, θα την γράψω.

Tolaso J Kos · #4

Μιχάλη ναι ! Εβαλα και τις δυο συναρτήσεις στο Wolfram και του ζήτησα να μου εμφανίσει το Taylor της καθε μιας στο x=0

. Από κει και μετά τα πράγματα ειναι εύκολα ....

Θα χαρώ να δω κάτι καλύτερο!

#5

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 09, 2019 7:02 pm
Μιχάλη ναι ! Εβαλα και τις δυο συναρτήσεις στο Wolfram και του ζήτησα να μου εμφανίσει το Taylor της καθε μιας στο . Από κει και μετά τα πράγματα ειναι εύκολα ....

Είχα δίκιο, λοιπόν.

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 09, 2019 7:02 pm
Θα χαρώ να δω κάτι καλύτερο!

Υπάρχει καλύτερο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 09, 2019 5:59 pm

rek2 έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 09, 2019 4:22 pm
Ζητάμε, με όσο πιο απλά μέσα γίνεται, το όριο στο μηδέν του κλάσματος:

$\dfrac{(cosx)^{sinx}-\sqrt{1-x^3}}{x^6}$

Λίγο βιαστικά. Αναπτύσσουμε σε Taylor τον αριθμητή και έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \frac{\left ( \cos x \right )^{\sin x} - \sqrt{1-x^3}}{x^6} &\sim \frac{\left (1-\frac{x^3}{2}+\frac{x^6}{8}+ \mathcal{O}(x^7) \right ) - \left ( 1-\frac{x^3}{2} - \frac{x^6}{8} + \mathcal{O} \left ( x^7 \right )\right)}{x^6} \\ &\sim \frac{\frac{2x^6}{8} + \mathcal{O}\left ( x^7 \right )+\mathcal{O}\left ( x^7\right )}{x^6} \\ &\sim \frac{2x^6}{8 x^6} +\mathcal{O}(x) \\ &=\frac{1}{4} +\mathcal{O}(x) \end{aligned}}$
που είναι και το ζητούμενο όριο.

Κώστα, τώρα αν με τα "απλά μέσα" εννοείς Λυκειακές μεθόδους .... good luck!

Εγώ δεν ξέρω από λογισμικά και τέτοια.Ξέρω όμως ότι το παραπάνω δεν είναι Μαθηματικά σωστό.
Το σωστό είναι

$\displaystyle{\begin{aligned} \frac{\left ( \cos x \right )^{\sin x} - \sqrt{1-x^3}}{x^6} = \frac{\left (1-\frac{x^3}{2}+\frac{x^6}{8}+ \mathcal{O}(x^7) \right ) - \left ( 1-\frac{x^3}{2} - \frac{x^6}{8} + \mathcal{O} \left ( x^7 \right )\right)}{x^6} \\ = \frac{\frac{2x^6}{8} + \mathcal{O}\left ( x^7 \right )+\mathcal{O}\left ( x^7\right )}{x^6} \\ = \frac{2x^6}{8 x^6} +\mathcal{O}(x) \\ =\frac{1}{4} +\mathcal{O}(x) \end{aligned}}$ και μετά παίρνοντας το $x\rightarrow 0$

το όριο είναι $\frac{1}{4}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Είναι εύκολο να δειχθεί με DHL ότι

$\displaystyle \lim_{t\rightarrow 0}\frac{(1-t)^{\frac{1}{2}}-1+\frac{t}{2}}{t^{2}}=-\frac{1}{8}$

οπότε

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1-x^3)^{\frac{1}{2}}-1+\frac{x^3}{2}}{x^{6}}=-\frac{1}{8}$ (1)

Για το άλλο γράφουμε

$\displaystyle (\cos x)^{\sin x}=exp(\sin x\ln \cos x)=$
$=1+\sin x\ln \cos x+\frac{1}{2}(\sin x\ln \cos x)^{2}+\frac{1}{6}(\sin x\ln \cos x)^{3}+....$

Χρησιμοποιώντας ότι
$\displaystyle \sin x=x(1-\frac{x^{2}}{6}+\frac{x^{4}}{24}+....)$

$\displaystyle \cos x=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}+...$

και

$\displaystyle \ln \cos x=\ln ((\cos x-1)+1)=(\cos x-1)-\frac{(\cos x-1)^{2}}{2}+..$
$=-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{12}+cx^{6}+...$

καταλήγουμε στο ότι

$\displaystyle (\cos x)^{\sin x}=exp(\sin x\ln \cos x)=1-\frac{x^{3}}{2}+\frac{x^{6}}{8}+dx^{7}+...$ (2)

Από τις (1) (2) υπολογίζουμε το όριο.

Θα μπορούσε και η (2) να γίνει με σχολική ύλη .
Θα είχε άπειρη πληκτρολόγηση και κάποια ''φυσιολογικά'' θα τα κάναμε ''ακροβατικά''

#8

Για το $\cos{x}^{\sin{x}}$ μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και το (γενικευμένο) διωνυμικό θεώρημα. Για

ώστε

(το οποίο ισχύει σε μια περιοχή του μηδενός εκτός από το x=0

) έχουμε

$\displaystyle \begin{aligned} \cos{x}^{\sin{x}} &= (1 + (\cos{x}-1))^{\sin{x}} \\ &= \sum_{n = 0}^{\infty} \binom{\sin{x}}{n} (\cos{x}-1)^n \\ &= 1 + \left(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + O(x^7)\right)\left(-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)\right) + \frac{1}{2} \left(x + O(x^3)\right) \left(-1+x + O(x^3)\right)\left(-\frac{x^2}{2} + O(x^4)\right)^2 + O(x^7) \\ &= 1 + \left(- \frac{x^3}{2} + \frac{x^5}{24} + \frac{x^5}{12} + O(x^7)\right) + \left(-\frac{x^5}{8} + \frac{x^6}{8} + O(x^7) \right) + O(x^7) \\ &= 1 - \frac{x^3}{2} + \frac{x^6}{8} + O(x^7) \end{aligned}$

όριο

όριο

Re: όριο

Re: όριο

Re: όριο

Re: όριο

Re: όριο

Re: όριο

Re: όριο

Μέλη σε σύνδεση