Τετραγωνισμός κύκλου

KARKAR · #1

: Τετραγωνισμός του κύκλου.png (13.01 KiB) Προβλήθηκε 656 φορές

Από τα σημεία O,S,T

διέρχεται μοναδικός κύκλος . Καταφέραμε και κατασκευάσαμε και ένα τετράγωνο , το

οποίο διέρχεται από τα ίδια σημεία . Συγκρίνετε τα εμβαδά των δύο σχημάτων . Σκεφθείτε αν για οποιαδήποτε

τρία μη συνευθειακά σημεία , μπορούμε να σχεδιάζουμε τετράγωνο με εμβαδόν μεγαλύτερο από του κύκλου.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 10, 2019 11:34 am
Τετραγωνισμός του κύκλου.pngΑπό τα σημεία διέρχεται μοναδικός κύκλος . Καταφέραμε και κατασκευάσαμε και ένα τετράγωνο , το

οποίο διέρχεται από τα ίδια σημεία . Συγκρίνετε τα εμβαδά των δύο σχημάτων . Σκεφθείτε αν για οποιαδήποτε

τρία μη συνευθειακά σημεία , μπορούμε να σχεδιάζουμε τετράγωνο με εμβαδόν μεγαλύτερο από του κύκλου.

Για τη γενική περίπτωση.

: Τετραγωνισμός κύκλου.png (15.71 KiB) Προβλήθηκε 638 φορές

Δεν μπορεί να συμβεί αυτό αν π.χ το τρίγωνο OST

είναι ισόπλευρο πλευράς έστω

Τότε το εμβαδόν του κύκλου είναι

$\displaystyle {E_k} = \frac{{\pi {a^2}}}{3}$ και το μέγιστο τετράγωνο έχει εμβαδόν $\displaystyle {E_\tau } = {a^2}.$ Επειδή όμως, $3<\pi$ θα είναι $\boxed{{E_\tau } < {E_k}}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Για να δούμε αναλυτικά τι συμβαίνει στο ωραίο αυτό πρόβλημα του Θανάση!

: Τετραγωνισμός κύκλου.b.png (17.48 KiB) Προβλήθηκε 617 φορές

Φέρνω από το

παράλληλη στην

που τέμνει τα ημικύκλια διαμέτρων TO, TS

στα

αντίστοιχα και κατασκευάζω

το τετράγωνο ABCD

με εμβαδόν $\displaystyle {E_\tau } = {a^2}$ και έστω TS=b, TO=c,

και

η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.

Είναι $\displaystyle (OST) = \frac{{abc}}{{4R}} \Leftrightarrow bc\sin \theta = \frac{{abc}}{{2R}} \Leftrightarrow R = \frac{a}{{2\sin \theta }}$ και το εμβαδόν του κύκλου $\displaystyle {E_k} = \frac{{\pi {a^2}}}{{4{{\sin }^2}\theta }}$

Για να είναι το εμβαδόν του τετραγώνου μεγαλύτερο από εκείνο του κύκλου, θα πρέπει λοιπόν $\boxed{\sin \theta > \frac{{\sqrt \pi }}{2}}$

Αν $\displaystyle \sin \omega = \frac{{\sqrt \pi }}{2}$ ( $\displaystyle \omega \simeq 62,40288^\circ$ ), αυτό συμβαίνει για $\boxed{\omega<\theta<180^\circ-\omega}$

Στο σχήμα έχουμε τον "τετραγωνισμό του κύκλου". Είναι $\displaystyle \theta = 62,40288^\circ, a=50,50115$ και τα ίσα εμβαδά περίπου 30,2626.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 10, 2019 11:34 am
Από τα σημεία διέρχεται μοναδικός κύκλος . Καταφέραμε και κατασκευάσαμε και ένα τετράγωνο , το

οποίο διέρχεται από τα ίδια σημεία . Συγκρίνετε τα εμβαδά των δύο σχημάτων . Σκεφθείτε αν για οποιαδήποτε

τρία μη συνευθειακά σημεία , μπορούμε να σχεδιάζουμε τετράγωνο με εμβαδόν μεγαλύτερο από του κύκλου.

Αν απαιτήσουμε ότι τα δοθέντα σημεία είναι σε διαφορετικές πλευρές του τε τετραγώνου, τότε έχουμε και "ακραίες συμπεριφορές". Συγκεκριμένα, θα υπάρχουν τότε δύο από τα τρία σημεία που βρίσκονται σε απέναντι πλευρές του τετραγώνου. Αν

η (δοθείσα) απόστασή τους τότε έπεται ότι η πλευρά του τετραγώνου είναι $\le d$ και άρα το εμβαδόν του είναι $\le d^2$ . Μπορούμε όμως να βρούμε περιπτώσεις, για δοθέν

, που το εμβαδόν του κύκλου είναι όσο μεγάλο θέλουμε (να τείνει στο άπειρο). Για παράδειγμα αν τα σημεία είναι τα $A(-d/2,0), \, B(d/2,0), \, C(0, 1/n)$ , τότε ο κύκλος ABC

έχει τεράστια ακτίνα διότι το τρίγωνο είναι "πεπλατυσμένο". Mάλιστα τείνει στο άπειρο καθώς $n \to \infty$ . Άρα δεν μπορούμε να βρούμε τετράγωνο εμβαδού μεγαλύτερου του κύκλου.

KARKAR · #5

Με τα δεδομένα σημεία του σχήματος , ο κύκλος είναι όντως μεγαλύτερος . Να δειχθεί παρακαλώ !

Ωστόσο , μπορούμε να φτιάξουμε τετράγωνο , αρκετά μεγαλύτερο . Να κατασκευασθεί παρακαλώ !

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 11, 2019 7:40 pm
Με τα δεδομένα σημεία του σχήματος , ο κύκλος είναι όντως μεγαλύτερος . Να δειχθεί παρακαλώ !

Ωστόσο , μπορούμε να φτιάξουμε τετράγωνο , αρκετά μεγαλύτερο . Να κατασκευασθεί παρακαλώ !

: Τετραγωνισμός κύκλου.ΙΙ.png (30.15 KiB) Προβλήθηκε 497 φορές

$\displaystyle (OST) = \frac{1}{2}\left| {\det (\overrightarrow {OS} ,\overrightarrow {OT} )} \right| = \frac{1}{2}|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&2\\ 3&{ - 2} \end{array}} \right|| = 7 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {20} \cdot \sqrt {17} \cdot \sqrt {13} }}{{4R}} = 7$

Σε κάθε περίπτωση το εμβαδόν του κύκλου είναι $\boxed{{E_k} = \frac{{1105\pi }}{{196}} \simeq 17,7115}$

α) Στο Σχήμα-1 το εμβαδόν του τετραγώνου είναι $\displaystyle {E_\tau } = B{C^2} = S{T^2} = 17 \Rightarrow$ $\boxed{{E_k} > {E_\tau }}$

β)Στο Σχήμα-2, φέρνω από το

παράλληλη στην

που τέμνει τα ημικύκλια διαμέτρων TO, TS

στα

Στη συνέχεια κατασκευάζω το τετράγωνο ABCD.

Τώρα είναι, $\displaystyle {E_\tau } = D{C^2} = O{S^2} = 20 \Rightarrow$ $\boxed{{E_k} < {E_\tau }}$

Τετραγωνισμός κύκλου

Τετραγωνισμός κύκλου

Re: Τετραγωνισμός κύκλου

Re: Τετραγωνισμός κύκλου

Re: Τετραγωνισμός κύκλου

Re: Τετραγωνισμός κύκλου

Re: Τετραγωνισμός κύκλου

Μέλη σε σύνδεση