Κάθετη στη διχοτόμο

KARKAR · #1

: Κάθετη στη διχοτόμο.png (12.66 KiB) Προβλήθηκε 1022 φορές

Η απόσταση σημείου

από το κέντρο του κύκλου (O,r)

, ισούται με

.

Να αχθεί τέμνουσα SAB

του κύκλου , ώστε αν η

είναι η διχοτόμος

της γωνίας $\widehat{SOA}$ , η

να είναι κάθετη προς την

.

#2

$\bullet$ Έστω ότι έχει κατασκευαστεί η ζητούμενη διατέμνουσα SAB

του κύκλου (O)

και ισχύει $OB\perp OD$ , όπου

είναι η διχοτόμος της γωνίας $\angle AOS$ .

Στο τρίγωνο $\vartriangle OAS$ έχουμε $\displaystyle \frac{DA}{DS} = \frac{OA}{OS} = \frac{1}{2}\ \ \ ,(1)$

Η σημειοσειρά $S,\ D,\ A,\ B$ είναι αρμονική ( προφανές ) και άρα έχουμε $\displaystyle \frac{BA}{BS} = \frac{DA}{DS} = \frac{1}{2}\ \ \ ,(2)$

Από $(1),\ (2)\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{SD}{DB} = \frac{1}{2}\ \ \ ,(3)$

: Κάθετη στην διχοτόμο.; f 178_t 63583.PNG (22.84 KiB) Προβλήθηκε 965 φορές

$\bullet$ Η δια του σημείου

παράλληλη ευθεία προς την

τέμνει την ευθεία

στο σημείο έστω

και ισχύει $\displaystyle \frac{SO}{OE} = \frac{SD}{DB} = \frac{1}{2}\ \ \ ,(4)$

Από (4)

προκύπτει ότι το σημείο

είναι σταθερό σημείο επί της ευθείας

και έτσι, το σημείο

προσδιορίζεται ως το σημείο τομής του κύκλου (O)

από τον κύκλο έστω (K)

με διάμετρο το σταθερό τμήμα OE = 4R

, όπου

είναι η ακτίνα του δοσμένου κύκλου (O)

και το πρόβλημα έχει λυθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Ο κύκλος (K)

επανατέμνει τον κύκλο (O)

στο σημείο έστω

, ως την δεύτερη λύση του προβλήματος ( προφανές ).

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλημέρα σε όλους. Μετά την ωραία(!) λύση του Κώστα μια προσπάθεια μάλλον υπολογιστική

: Κάθετη στη διχοτόμο.PNG (10.92 KiB) Προβλήθηκε 987 φορές

Στο σχήμα επί της

παίρνουμε

. Η κάθετη προς την

στο

τέμνει τον κύκλο στις ζητούμενες (συμμετρικές) θέσεις

και

.
Προτίθεμαι βεβαίως να επανέλθω για την δέουσα αιτιολόγηση..

...Επανέρχομαι για την απόδειξη της OK=r/4

. Είναι

και

Στο τρίγωνο AOS

οι

είναι εσ. και εξ. διχοτόμοι οπότε με τα θ. διχοτόμων προκύπτει BS=2BA

δηλ η

είναι διάμεσος ,

άρα από θ. διαμέσων παίρνουμε $BS^{2}=2\left ( OB^{2}+OS^{2} \right ) -4OA^{2} \Rightarrow BS^{2}=6r^{2}$

Η $\widehat{BOS}$ είναι αμβλεία και με το Γ.Π.Θ παίρνουμε $BS^{2}=OB^{2}+OS^{2}+2OS\cdot OK$ . Έτσι $6r^{2}=r^{2}+4r^{2}+4r\cdot OK\Rightarrow \boxed{OK=\dfrac{r}{4}}$
Εκ των υστέρων (βλέποντας και τις λύσεις των φίλων Νίκου και Γιάννη) μια συντομότερη , ως προς τους υπολογισμούς κατασκευή:
Από την $BS^{2}=6r^{2}\Rightarrow BS=r\sqrt{6}$ συνεπώς τα B,B'

είναι οι τομές του κύκλου $\left ( S,r\sqrt{6} \right )$ με τον αρχικό κύκλο.

: Κάθετη στη διχοτόμο 2 .PNG (12.67 KiB) Προβλήθηκε 843 φορές

Φιλικά , Γιώργος.

#4

Κατασκευή:

(Από μετρική λύση )

Γράφω το κύκλο $\left( {S,\dfrac{{r\sqrt 6 }}{2}} \right)$ που τέμνει τον (O,r)

σε δύο σημεία . Έστω,

το ένα εξ αυτών. Η ευθεία

τέμνει ακόμα τον δοθέντα κύκλο στο

.

: κάθετη στη διχοτόμο_1.png (27.56 KiB) Προβλήθηκε 984 φορές

Απόδειξη:

Φέρνω τη διχοτόμο

του τριγώνου OSA

. Επειδή

αν θέσω $DA = 2k\,\,,\,\,k > 0$ θα είναι DS = 4k

και έτσι

.

Αλλά $SA = \dfrac{{r\sqrt 6 }}{2}$ οπότε $\boxed{SA = 6k = \frac{{r\sqrt 6 }}{2} \Leftrightarrow r = \dfrac{{12k}}{{\sqrt 6 }}}$ (1).

Από τη δύναμη του σημείου

ως προς τον κύκλο (O,r)

έχω :

$SA(SA + SB) = S{O^2} - {r^2}$ και αφού SO = 2r

και λόγω της (1)

έχω $\boxed{SB = 6k = SA}$ .

Μα τώρα $\left\{ \begin{gathered} \frac{{OA}}{{OS}} = \frac{r}{{2r}} = \frac{1}{2} \hfill \\ \frac{{BA}}{{BS}} = \frac{{6k}}{{12k}} = \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{\frac{{OA}}{{OS}} = \frac{{BA}}{{BS}}}$ δηλαδή η

είναι η εξωτερική διχοτόμος

στο $\vartriangle OAS$ άρα κάθετη στην εσωτερική

.

2ος τρόπος

Κατασκευή:

: κάθετη στη διχοτόμο_2.png (23.3 KiB) Προβλήθηκε 984 φορές

Γράφω το κύκλο του Απολλώνιου για τον οποίο και για κάθε σημείο του

ισχύει :

$\boxed{\frac{{PM}}{{PO}} = \frac{1}{2}}$ .

Ο κύκλος αυτός τέμνει το δεδομένο σε δυο σημεία κι έστω

το ένα απ’ αυτά .

Η

είναι η τέμνουσα που θέλουμε

Η απόδειξη σαν άσκηση ( αλλά είμαι και στη διάθεση του καθενός)

Altrian · #5

Καλημέρα σε όλους.

Εστω AD=x

. Τότε

. Επίσης $\large \frac{DS}{DB}=\frac{1}{2}\Rightarrow DB=2DS=4x\Rightarrow BA=3x=AS$
Δηλαδή το $\large A$ είναι το μέσο της $\large BS$ δηλαδή $\large AM=\frac{BO}{2}=\frac{r}{2}$ .
Οπότε το ζητούμενο σημείο $\large A$ είναι η (μία) τομή των κύκλων $\large (O,r)\cap (M,\frac{r}{2})$

Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης

KARKAR · #6

Γεια σου Αλέξανδρε

Μάλιστα θα μπορούσαμε να το απλουστεύσουμε περαιτέρω , με τη παρατήρηση

ότι αφού η

είναι εξωτερική διχοτόμος , τότε $\dfrac{BA}{BS}=\dfrac{1}{2}$ ...

#7

Μόνο την κατασκευή. [attachment=0]Κάθετη στη διχοτόμο..png[/attachment]
Φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα

και έστω

το μέσο του ημικυκλίου διαμέτρου ST.

Η τομή του αρχικού κύκλου με τον κύκλο (S, SN)

προσδιορίζει το ζητούμενο σημείο

#8

Μου άρεσαν πολύ όλες οι κατασκευές:

Η λύση του Κώστα αναμενόμενη αφού είναι λάτρης της αρμονικότητας .

Η λύση του Γιώργου του Μίτσιου απλή σαν κατασκευή. Εν αναμονή το σκεφτικό.

Η λύση του Αλέξανδρου (απλή ομοιοθεσία) είναι προφανώς η απλούστερη.

Η λύση του Γιώργου του Βισβίκη : απρόβλεπτη. Θα τη μελετήσω Γιώργο όχι τόσο στο μετρικό μέρος, όσο στη φιλοσοφία κατασκευής .

Για το θεματοδότη τα έχουμε πει πολλές φορές : Ανεξάντλητη πηγή έμπνευσης και δημιουργίας.

STOPJOHN · #9

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 10, 2019 10:42 pm
Κάθετη στη διχοτόμο.pngΗ απόσταση σημείου από το κέντρο του κύκλου , ισούται με .

Να αχθεί τέμνουσα του κύκλου , ώστε αν η είναι η διχοτόμος

της γωνίας $\widehat{SOA}$ , η να είναι κάθετη προς την .

Καλημέρα

Απο το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου στο τρίγωνο $AOS,\dfrac{AS}{r}=\dfrac{DS}{2r}=\dfrac{DS}{3r}\Rightarrow AD=\dfrac{x}{3},AS=x,DS=\dfrac{2x}{3}$

Η καθετότητα στη διχοτόμο δημιουργεί την διχοτόμο στην εξωτερική γωνία άρα
$\dfrac{BA}{BS}=\dfrac{DA}{DS}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow BA=x=AS$

και απο το θεώρημα της διαμέσου στο τρίγωνο $OBS,3r^{2}=2r^{2}+\dfrac{4x^{2}}{2}\Leftrightarrow 2x^{2}=3r^{2}\Leftrightarrow x^{2}=3r.\dfrac{r}{2},(*)$

Γιάννης

Η κατασκευη αργότερα

Κατασκευάζουμε τον κύκλο $(I,\dfrac{7r}{4})$

και το κύκλο (O,r)

η τομή τους ορίζει το σημείο

Και το

τότε είναι $\hat{CTG}=90^{0},OT^{2}=CO.OG\Leftrightarrow OT^{2}=3r.\dfrac{r}{2},OT=x$

#10

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 11, 2019 10:53 am
Μόνο την κατασκευή. Κάθετη στη διχοτόμο..png
Φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα και έστω το μέσο του ημικυκλίου διαμέτρου Η τομή του αρχικού κύκλου με τον κύκλο προσδιορίζει το ζητούμενο σημείο

Τα εργαλεία έσωσαν το σχήμα.

: κάθετη στη διχοτόμο_Bisbikis.png (27.01 KiB) Προβλήθηκε 897 φορές

Επειδή κάθε αντιστροφή κύκλου με πόλο έξω απ’ αυτόν δίδει ομοιόθετο κύκλο εδώ:

Αντιστρέφω το δεδομένο κύκλο (O,r)

με πόλο το

και δύναμη αντιστροφής

${k^2} = S{N^2}$ και προκύπτει ο κύκλος $\left( {M,\dfrac{r}{2}} \right)$ δηλαδή η λύση του Αλέξανδρου!!

#11

Να παρατηρήσω ότι η κατασκευή γενικεύεται για και ανάγεται στην

κατασκευή τέμνουσας ώστε $\displaystyle \frac{{SA}}{{SB}} = \frac{{d - r}}{d}$

: Κάθετη στη διχοτόμο.β.png (19.08 KiB) Προβλήθηκε 886 φορές

#12

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 11, 2019 12:37 pm
Να παρατηρήσω ότι η κατασκευή γενικεύεται για και ανάγεται στην

κατασκευή τέμνουσας ώστε $\displaystyle \frac{{SA}}{{SB}} = \frac{{d - r}}{d}$
Κάθετη στη διχοτόμο.β.png

: κάθετη στη διχοτόμο_Γενίκευση.png (19.67 KiB) Προβλήθηκε 870 φορές

Αν τώρα

επειδή στο ισοσκελές $\vartriangle OAM$ ο φορέας της διχοτόμου από το

είναι κάθετος στην

θα είναι

.

Έτσι $\dfrac{{AM}}{{OB}} = \dfrac{{SM}}{{SO}} \Rightarrow \boxed{AM = \frac{{rs}}{{r + s}}}$

Συνεπώς ο ομοιόθετος κύκλος $\left( {M,\dfrac{s}{{r + s}} \cdot r} \right)$ τέμνει τον αρχικό στο ζητούμενο σημείο

Και για να «ευλογήσουμε τα γένια μας».

: κάθετη στη διχοτόμο_Γενίκευση_new.png (22.46 KiB) Προβλήθηκε 854 φορές

Γράφω τον κύκλο του Απολλώνιου που για κάθε σημείο

ισχύει : $\boxed{\frac{{PM}}{{PO}} = \frac{s}{{r + s}}}$

Ο κύκλος αυτός τέμνει το ένα αρχικό ημικύκλιο( με φορέα της διαμέτρου του την ακτίνα

) στο σημείο

. Η τέμνουσα που ζητάμε είναι η

.

Κάθετη στη διχοτόμο

Κάθετη στη διχοτόμο

Re: Κάθετη στη διχοτόμο

Re: Κάθετη στη διχοτόμο

Re: Κάθετη στη διχοτόμο

Re: Κάθετη στη διχοτόμο

Re: Κάθετη στη διχοτόμο

Re: Κάθετη στη διχοτόμο

Re: Κάθετη στη διχοτόμο

Re: Κάθετη στη διχοτόμο

Re: Κάθετη στη διχοτόμο

Re: Κάθετη στη διχοτόμο

Re: Κάθετη στη διχοτόμο

Μέλη σε σύνδεση