Ricatti με λύση;

M.S.Vovos · #1

Να εξετάσετε αν υπάρχει συνάρτηση $f:[0,3)\longrightarrow \mathbb{R}$ , παραγωγίσιμη στο (0,3)

, με

, τέτοια ώστε να ισχύει:

$\displaystyle{f'(x)=\left ( f(x) \right )^{2}+x}$ , για κάθε 0<x<3

.
Φιλικά,
Μάριος

Tolaso J Kos · #2

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 12, 2019 8:21 pm
Να εξετάσετε αν υπάρχει συνάρτηση $f:[0,3)\longrightarrow \mathbb{R}$ , παραγωγίσιμη στο , με , τέτοια ώστε να ισχύει:

$\displaystyle{f'(x)=\left ( f(x) \right )^{2}+x}$ , για κάθε .
Φιλικά,
Μάριος

Θεωρώ ότι η αλλαγή $\displaystyle{y=-\frac{u'}{u}}$ φέρνει την εξίσωση σε γνωστά νερά. Πράγματι,

$\displaystyle{\begin{aligned} y' = y^2 +x &\overset{y=-\frac{u'}{u}}{=\! =\! =\!\Rightarrow } \left ( -\frac{u'}{u} \right )' = \left ( \frac{u'}{u} \right )^2 +x\\ &\Rightarrow \frac{(u')^2-u u''}{u^2} = \frac{(u')^2}{u^2}+x \\ &\Rightarrow -\frac{u''}{u} =x \\ &\Rightarrow u''= -ux \end{aligned}}$

Υποψιάζομαι ότι από πίσω κρύβονται οι συναρτήσεις Airy functions. Θυμάμαι ότι η εξίσωση $\displaystyle{y'' = yx}$ έχει γενική λύση την $\displaystyle{y(x)=\alpha \cdot\mathrm{Ai}(x)+\beta \cdot\mathrm{Bi}(x)}$ οπότε κάτι αντίστοιχο θα ισχύει και για αυτή που αναζητάμε.Επειδή $\displaystyle{\mathrm{Ai}(0) = \frac{1}{3^{2/3} \Gamma \left ( \frac{2}{3} \right )}}$ και $\displaystyle{\mathrm{Bi}(0) = \frac{1}{3^{1/6} \Gamma \left ( \frac{2}{3} \right )}}$ .Έσβησα ένα κομμάτι που έδινε τη λύση .

Σημείωση: Η εξίσωση (21)

στο link είναι αυτό που συζητάμε.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 12, 2019 8:21 pm
Να εξετάσετε αν υπάρχει συνάρτηση $f:[0,3)\longrightarrow \mathbb{R}$ , παραγωγίσιμη στο , με , τέτοια ώστε να ισχύει:

$\displaystyle{f'(x)=\left ( f(x) \right )^{2}+x}$ , για κάθε .
Φιλικά,
Μάριος

Είναι άμεσο από το θεώρημα ύπαρξης για διαφορικές εξισώσεις ότι υπάρχει μοναδική τέτοια συνάρτηση
που είναι ορισμένη στο [0,c)

.

Το πρόβλημα είναι πόσο μεγάλο μπορεί να γίνει το

.

Είναι προφανές ότι η

είναι γνήσια αύξουσα.

Επίσης επειδή

$f'(x)\geq x$

ολοκληρώνοντας παίρνουμε ότι

$f(x)\geq \dfrac{x^{2}}{2}$ (1)

Εστω ένα 0<a<c

Για $x\geq a$ έχουμε ότι

$f'(x)\geq f^{2}(x)+a$

Η τελευταία γράφεται $\displaystyle \frac{f'(x)}{a((\frac{f(x)}{\sqrt{a}})^{2}+1)}\geq 1$

η $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}(\arctan \frac{f(x)}{\sqrt{a}})'\geq 1$

ολοκληρώνοντας την τελευταία από

έως

παίρνουμε (με λίγες πράξεις)

$\displaystyle \arctan \frac{f(t)}{\sqrt{a}}\geq \arctan \frac{f(a)}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}(t-a)$

λόγω της (1) η τελευταία γίνεται

$\displaystyle \arctan \frac{f(t)}{\sqrt{a}}\geq \arctan \frac{a\sqrt{a}}{2}+\sqrt{a}(t-a)$

Αρα για a<t<c

έχουμε

$\displaystyle \frac{\pi }{2}\geq \arctan \frac{a\sqrt{a}}{2}+\sqrt{a}(t-a)$ (2)

Με την (2) μπορούμε να κάνουμε παιχνίδι ώστε να εκτιμήσουμε το

.

Για παράδειγμα αν υποθέσουμε ότι c>1

τότε παίρνοντας a=1

η (2) δίνει

$\displaystyle c\leq 1+\frac{\pi }{2}-\arctan \frac{1}{2}$

που δείχνει ότι δεν υπάρχει η συνάρτηση που ζητείται

M.S.Vovos · #4

Όμορφα, να πω ότι η πηγή είναι από Crux.

#5

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 15, 2019 4:31 pm
Όμορφα, να πω ότι η πηγή είναι από Crux.

Καταπληκτική η ανάλυση του Σταύρου.

Ας προσθέσω ότι για πιο μικρό διάστημα η εξίσωση έχει λύση. Έκανα τις πράξεις σε χαρτί, χωρίς καμία δυσκολία και στάνταρ βήματα, για την γενική περίπτωση όπου η λύση για την

είναι άθροισμα δύο δυναμοσειρών. Ίσως βρω χρόνο να την πληκτρολογήσω.

Μάριε: Τι ακριβώς γράφει το Crux; Παραπομπή υπάρχει;

M.S.Vovos · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 15, 2019 4:42 pm

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 15, 2019 4:31 pm
Όμορφα, να πω ότι η πηγή είναι από Crux.
Ας προσθέσω ότι για πιο μικρό διάστημα η εξίσωση έχει λύση. Έκανα τις πράξεις σε χαρτί, χωρίς καμία δυσκολία και στάνταρ βήματα, για την γενική περίπτωση όπου η λύση για την είναι άθροισμα δύο δυναμοσειρών. Ίσως βρω χρόνο να την πληκτρολογήσω.

Τι ακριβώς γράφει το Crux; Παραπομπή υπάρχει;

Κύριε Μιχάλη το Crux έχει την παρακάτω λύση:

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει τέτοια y=f(x)

που επαληθεύει την διαφορική. Θα καταλήξουμε σε άτοπο.

Για κάθε 0<x<3

θα έχουμε ότι η y'>0

και άρα η

είναι γνησίως αύξουσα, και άρα y(x)>y(0)=0

άρα

στο εν λόγω διάστημα.

Θεωρούμε την συνάρτηση $z=\arctan y$ . Προφανώς η

είναι παραγωγίσιμη και ικανοποιεί την $\displaystyle{0<z<\frac{\pi }{2}}$ και $\displaystyle{\frac{z'}{\cos^{2} x}=\tan ^{2}z +x\Leftrightarrow z'=\sin^{2}x+x\cos^{2}x}$ .

Αυτό σημαίνει πως για κάθε $x\geqslant 1$ έχουμε $\displaystyle{z'\geqslant \sin^{2}x+\cos^{2}x=1}$ , και άρα $z\geqslant x-1$ , για $x\geqslant 1$ .

Για $\displaystyle{z(2,9)=1,9>\frac{\pi }{2}}$ το οποίο είναι φυσικά άτοπο. Άρα, δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.

Φιλικά,
Μάριος

Υ.Γ. Να πω ακόμα πως γνωρίζω ακόμα δύο λύσεις για την παραπάνω άσκηση. Ευχαριστώ τον Σταύρο για μια ακόμα λύση για την συλλογή μου!

Ricatti με λύση;

Ricatti με λύση;

Re: Ricatti με λύση;

Re: Ricatti με λύση;

Re: Ricatti με λύση;

Re: Ricatti με λύση;

Re: Ricatti με λύση;

Μέλη σε σύνδεση