Όριο ακολουθίας

Chatzibill · #1

Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας $a_{n}=\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$

#2

Chatzibill έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 13, 2019 5:19 pm
Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας $a_{n}=\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$

Πάρα πολλή γνωστή, τουλάχιστον σε αυτό το φόρουμ. Η απάντηση είναι 1/e

είτε με Stirling (άμεσο) ή ο λογάριθμος της δοθείσας
είναι άθροισμα Riemann του $\displaystyle{\int _0^1\ln x \, dx = -1}$ . Tα υπόλοιπα χιλιοειπωμένα.

#3

Chatzibill έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 13, 2019 5:19 pm
Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας $a_{n}=\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$

Ας το δούμε και αλλιώς.

Γνωρίζουμε ότι αν για μία ακολουθία b_n>0

ισχύει $\displaystyle{\dfrac {b_{n+1}}{b_n} \to b}$ , τότε και $\displaystyle{\sqrt [n]{b_n} \to b}$ . Για την $\displaystyle{b_n=\dfrac {n!}{n^n}}$ έχουμε

$\displaystyle{\dfrac {b_{n+1}}{b_n} =\dfrac {(n+1)!n^n}{n!(n+1)^{n+1}} = \dfrac {n^n}{(n+1)^{n}} = \dfrac {1}{\left ( 1 + \frac {1}{n} \right )^n}\to \dfrac {1}{e} }$ .

Άρα $\frac{\sqrt[n]{n!}}{n} = \sqrt [n] {\dfrac {n!}{n^n}} \to \dfrac {1}{e}$ .

Chatzibill · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 13, 2019 8:57 pm

Chatzibill έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 13, 2019 5:19 pm
Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας $a_{n}=\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$
Ας το δούμε και αλλιώς.

Γνωρίζουμε ότι αν για μία ακολουθία ισχύει $\displaystyle{\dfrac {b_{n+1}}{b_n} \to b}$ , τότε και $\displaystyle{\sqrt [n]{b_n} \to b}$ . Για την $\displaystyle{b_n=\dfrac {n!}{n^n}}$ έχουμε

$\displaystyle{\dfrac {b_{n+1}}{b_n} =\dfrac {(n+1)!n^n}{n!(n+1)^{n+1}} = \dfrac {n^n}{(n+1)^{n}} = \dfrac {1}{\left ( 1 + \frac {1}{n} \right )^n}\to \dfrac {1}{e} }$ .

Άρα $\frac{\sqrt[n]{n!}}{n} = \sqrt [n] {\dfrac {n!}{n^n}} \to \dfrac {1}{e}$ .

Αυτό είχα στο μυαλό μου

Λάμπρος Κατσάπας · #5

Chatzibill έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 13, 2019 10:05 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 13, 2019 8:57 pm

Chatzibill έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 13, 2019 5:19 pm
Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας $a_{n}=\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$
Ας το δούμε και αλλιώς.

Γνωρίζουμε ότι αν για μία ακολουθία ισχύει $\displaystyle{\dfrac {b_{n+1}}{b_n} \to b}$ , τότε και $\displaystyle{\sqrt [n]{b_n} \to b}$ . Για την $\displaystyle{b_n=\dfrac {n!}{n^n}}$ έχουμε

$\displaystyle{\dfrac {b_{n+1}}{b_n} =\dfrac {(n+1)!n^n}{n!(n+1)^{n+1}} = \dfrac {n^n}{(n+1)^{n}} = \dfrac {1}{\left ( 1 + \frac {1}{n} \right )^n}\to \dfrac {1}{e} }$ .

Άρα $\frac{\sqrt[n]{n!}}{n} = \sqrt [n] {\dfrac {n!}{n^n}} \to \dfrac {1}{e}$ .
Αυτό είχα στο μυαλό μου

Μπορείς να το δείξεις επίσης χρησιμοποιώντας την $\displaystyle \left ( 1+\frac{1}{k} \right )^k<e< \left ( 1+\frac{1}{k} \right )^{k+1}$ για κάθε k=1,2,...

.

#6

Chatzibill έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 13, 2019 10:05 pm
Αυτό είχα στο μυαλό μου

.

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 13, 2019 11:43 pm
Μπορείς να το δείξεις επίσης χρησιμοποιώντας την $\displaystyle \left ( 1+\frac{1}{k} \right )^k<e< \left ( 1+\frac{1}{k} \right )^{k+1}$ για κάθε .

.
Ας επισημάνω ότι υπάρχουν τουλάχιστον άλλοι δύο τρόποι, πέρα από τους τέσσερις παραπάνω.

Antonis Loutraris · #7

Την έχουμε ξανασυζητήσει:

viewtopic.php?f=9&t=56817&p=273643#p273643

Ανδρέας Πούλος · #8

Επειδή συγκεντρώνω αυτόν τον καιρό εποπτικό υλικό για την έννοια της απόδειξης,
το θυμήθηκα αμέσως.
Δείτε αυτό το βίντεο που εξηγεί στον πίνακα την εύρεση του συγκεκριμένου ορίου.

https://www.youtube.com/watch?v=89d5f8WUf1Y

#9

Ανδρέας Πούλος έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 14, 2019 11:51 pm
Επειδή συγκεντρώνω αυτόν τον καιρό εποπτικό υλικό για την έννοια της απόδειξης,
το θυμήθηκα αμέσως.
Δείτε αυτό το βίντεο που εξηγεί στον πίνακα την εύρεση του συγκεκριμένου ορίου.

https://www.youtube.com/watch?v=89d5f8WUf1Y

Ανδρέα, Καλή Χρονιά και "από κοντά" (ηλεκτρονικά κοντά, εννοώ. Μην ανησυχείς, δεν είμαι Θεσσαλονίκη αλλά στο γραφείο μου, οπότε μπόρεσα να δω και το βίντεο).

Υπάρχει πολλή ωραία βιβλιογραφία για "Introduction to Proofs" για αρχάριους. Σίγουρα την ξέρεις αλλά θα γράψω κάποιους τίτλους.

Για το βίντεο που παραθέτεις έχω πολλές ενστάσεις. Το βρίσκω ακατάλληλο για τους λόγους που αναφέρω παρακάτω. Αν ο παρουσιαστής ήταν φοιτητής και η παρουσίασή του ήταν μέρος της βαθμολογίας του σε μάθημα "Introduction to Proofs" , θα του έβαζα 3 στα 10.

Οι λόγοι είναι οι εξής.

α) Πλατειάζει αφάνταστα.

β) Χρησιμοποιεί λογαρίθμους, εκθετικές, συνεχείς συναρτήσεις, όρια ακολουθιών, Riemann αθροίσματα και ότι τα όριά τους είναι
το ολοκλήρωμα (οπότε έχουμε γνώση και της ομοιόμορφης συνέχειας), καταχρηστικά ολοκληρώματα, και λοιπά. Αν κάποιος τα ξέρει όλα αυτά ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΧΡΕΙΑΝ του τι θα πει απόδειξη. Το έχει μάθει προ πολλού.

γ) Έχει ασαφείς εκφράσεις όπως "το

είναι πολύ μικρότερο από το n^n

" για να αποφανθεί ότι $n!/n^n\to 0$ . Σωστό μεν αλλά αν θέλεις να μου εξηγήσεις "τι είναι απόδειξη" και κάνεις τέτοια άλματα χωρίς απόδειξη, την πατήσαμε.

δ) Έχει ασαφή σύμβολα και πάει να μπερδέψει τον πρωτάρη φοιτητή όταν μιλάει για

με $x\in \mathbb R$ , και ότι δεν μπορείς να το παραγωγίσεις. Εδώ (σε αυτό το στάδιο γνώσης του φοιτητή) ο φοιτητής δεν ξέρει καν το σύμβολο (οι συναρτήσεις $\Gamma$ έρχονται αργότερα).

ε) Κάπου στην αρχή της απόδειξης επικαλείται την συνέχεια του λογαρίθμου. Στην πραγματικότητα αυτό που θέλεις είναι (μόνο) η συνέχεια της εκθετικής, προς το τέλος της απόδειξης. Όλα για την συνέχεια της λογαριθμικής είναι περιττά.

στ) Γράφει το

ανάποδα, ως $n\cdot (n-1) \cdot ... \, \cdot 1$ , και μετά κάνει μια ολόκληρη μανούβρα στο λογαριθμικό άθροισμα για να το φέρει στην συνήθη μορφή. Δηλαδή κάνει δυο φορές μία ανάποδη γραφή για να το φέρει στα ίσα. Αν έγραφε
απευθείας $n! = 1\cdot 2 \cdot ... \, \cdot n$ , δεν θα εμφανιζόταν καμία από αυτές τις ράβε- ξήλωνε τεχνικές του.

ζ) Εδώ είναι που μου την βάρεσε: Μιλά για "rectangles as small as possible", όταν αθροίζει τα μακρόστενα παραλληλόγραμμα στο άθροισμα Riemann και προσπαθεί να αιτιολογήσει το όριο. Έλεος! Δεν είναι Μαθηματικά αυτά.

η) Εργάζεται με καταχρηστικό ολοκλήρωμα σαν να ήταν κανονικό. Εκεί πάει να τα μπαλώσει λέγοντας "θα σου δείξω σε ΑΛΛΟ βίντεο" ότι το ολοκλήρωμα ισούται με

. Έφαγε δηλαδή ένα ουσιαστικό βήμα της απόδειξης όπου χρειάζεται, συν τοις άλλοις, το $\displaystyle{\lim_{x\to 0+} x\ln x = 0}$ .

Και άλλα.

Τα λέω αυτά όχι για να επισημάνω ότι η απόδειξή του είναι σκάρτη. Μέσες άκρες καλή είναι, και ό,τι λείπει, μπαλώνεται.
Τα λέω για να επισημάνω ότι ως παράδειγμα για να ΜΑΘΩ τι είναι απόδειξη α) είναι ακατάλληλο σε επίπεδο ερμηνείας, β) έρχεται πολύ αργά.

Ανδρέας Πούλος · #10

Μιχάλη,
σήμερα είδα τις παρατηρήσεις σου για τη συγκεκριμένη βιντεο-απόδειξη.
Ότι γράφεις είναι εκπληκτικής σαφήνειας, ακρίβειας και παρατηρητικότητας.
Είναι ένα μάθημα, για το πώς παρουσιάζουμε τις αποδείξεις.
Σε ευχαριστώ, (υποθέτω και άλλοι), πάρα πολύ.

#11

Ανδρέας Πούλος έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 22, 2019 12:35 am
Μιχάλη,
σήμερα είδα τις παρατηρήσεις σου για τη συγκεκριμένη βιντεο-απόδειξη.
Ότι γράφεις είναι εκπληκτικής σαφήνειας, ακρίβειας και παρατηρητικότητας.
Είναι ένα μάθημα, για το πώς παρουσιάζουμε τις αποδείξεις.
Σε ευχαριστώ, (υποθέτω και άλλοι), πάρα πολύ.

Ανδρέα, να 'σαι καλά.

Δεν απάντησα αμέσως γιατί είμαι τέσσερις μέρες Αθήνα κάνοντας πολλές ώρες σεμινάρια με πολύ ωραίο υλικό σε παιδιά από Δ' εως Στ' Δημοτικού,
οπότε μπαίνω μόνο αραιά στο φόρουμ.

Ευκαιρία να προσθέσω πως νοιώθω ότι με τα παιδιά του Δημοτικού συμβάλλω περισσότερο στην διάδοση και αγάπη για τα Μαθηματικά από ότι στα μαθήματά μου σε φοιτητές γιατί οι μεν θέλγονται ενώ οι δε, στην πλειοψηφία τους, αδιαφορούν και έχουν σοβαρές ελλείψεις.

Όριο ακολουθίας

Όριο ακολουθίας

Re: Όριο συνάρτησης

Re: Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Re: Όριο ακολουθίας

Μέλη σε σύνδεση