Ριζικά μέγιστα

[Al.Koutsouridis]

Για κάθε , για το οποίο η εξίσωση έχει τρεις διαφορετικές μεταξύ τους ρίζες, συμβολίζουμε με αυτές τις ρίζες διατεταγμένες κατά φθίνουσα σειρά . Προσδιορίστε, για ποιό από αυτά τα η έκφραση λαμβάνει την μέγιστη δυνατή τιμή της.

[rek2]

Αλέξανδρε, τιναφτόρε;

[Al.Koutsouridis]

Αλέξανδρε, τιναφτόρε;

Καλησπέρα κ.Κώστα και χρόνια πολλά, αν και καθυστερημένα, για την γιορτή σας, υγεία και δημιουργικότητα!

Το πρόβλημα αυτό και μερικά άλλα τα έβαλα με αφορμή την ερώτηση εδώ . Το παρόν είναι από την εισαγωγικού τύπου ολυμπιάδα "Κατακτώντας τους λόφους των σπουργιτιών" του 2018. Θέλει και γνώση τύπων Viet. Εκείνο το διάστημα ήμασταν μακριά από τις πανελλήνιες, οπότε θεώρησα ότι δεν κάνω "ζημιά". Προφανώς δεν θέλω να το παίξω έξυπνος. Το πρόβλημα είναι ακατάλληλο για πανελλαδικές, αλλά το βρήκα ενδιαφέρον. Στα ίδια πλαίσια είναι και το πρόβλημα εδώ (εισαγωγικού τύπου ολυμπιάδα "Λομονόσοβ", 2018).

[rek2]

επαναφορά!!

[llenny]

Μπορεί κάποιος να δώσει μια υπόδειξη για αυτό το θέμα;

[Al.Koutsouridis]

Μπορεί κάποιος να δώσει μια υπόδειξη για αυτό το θέμα;

Δίνω το σκιαγράφημα της επίσημης λύσης. Εικάζω θα υπάρχουν κι άλλες πιθανόν καλύτερες και πιο άμεσες.

1) Μελέτη της συνάρτησης για να δούμε ποιες δυνατές τιμές μπορεί να πάρει το .

2) Εκφράζουμε την παράσταση συναρτήσει του μέσω των τύπων του Vieta.
Το κόλπο:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

2a) Θεωρούμε την αρχική παράσταση αλλά και την "συμπληρωματική" της
2b) Κατασκευάζουμε ένα σύστημα με αγνώστους τα συναρτήσει των τύπων του Vieta.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

,

2c) Λύνουμε το σύστημα ως προς το .

3) Μελετάμε την συνάρτηση που προκύπτει στο (2) ως προς την μέγιστη τιμή.

[llenny]

Καλημέρα. Ξανακοίταξα την άσκηση χθες και συνειδητοποίησα ότι έπρεπε να εκφράσω τη τιμή της συναρτήσει του α για να καταφέρω να εκφράσω την τιμή της ζητούμενης παράσταστης συναρτήσει του α αφού όπως κι αν δοκίμαζα να φτιάξω τη ζητούμενη με τα στοιεχειώδη συμμετρικά πολυώνυμα εμφανιζόταν και αυτή. Έκανα ακριβώς αυτό που γράφετε για να τη βρώ και προφανώς βγήκε συναρτήσει του α ( για αυτό το έκανα στο κάτω κάτω) αλλά νόμιζα ότι αυτό που βγήκε δε μελετούταν έυκολα και σταμάτησα εκεί, ίσως έχω κάποιο αριθμητικό. Έχω να πω πάντως πως περίμενα να είναι πιο εύκολο από ότι ηταν. Αν αυτό είναι σε ολυμπιάδα εισαγωγικού τύπου στις άλλες τι βάζουν; :3

[Al.Koutsouridis]

Αν αυτό είναι σε ολυμπιάδα εισαγωγικού τύπου στις άλλες τι βάζουν; :3

Απλά να διευκρινίσω γιατί πιθανόν ο όρος «εισαγωγικού τύπου» που χρησιμοποίησα μπορεί να μην είναι ο καταλληλότερος. Το εισαγωγικού δεν αναφέρεται στην δυσκολία αλλά για το σκοπό που χρησιμοποιείται η ολυμπιάδα-διαγωνισμός. Βλέπε π.χ. εδώ μερικές πληροφορίες που είχα αναφέρει παλιότερα.

Οι ασκήσεις αυτές (δημιουργικού τύπου) μπορεί να μην υπολογίζονται καν στο βαθμό, απλά για να ασχοληθούν οι μαθητές. Γενικά τα θέματα της τελικής φάσης (που μετράνε στο βαθμό) είναι πολύ πιο εύκολα από το παρόν πρόβλημα.