Πολλά μέσα και καθετότητα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6600
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Πολλά μέσα και καθετότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιαν 19, 2019 12:21 am

Πολλά μέσα.png
Πολλά μέσα.png (14.44 KiB) Προβλήθηκε 480 φορές
Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ABC\,\,(A = 90^\circ ). Το ύψος AD το προεκτείνω, πέραν του D, κατά DE = \dfrac{1}{2}AD. Ας είναι δε M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N τα μέσα των DB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC αντίστοιχα.

Από τυχαίο σημείο K της AN φέρνω παράλληλη στη BC που τέμνει την EN στο σημείο P. Αν Q το συμμετρικό του P ως προς το K, δείξετε ότι NQ \bot AM.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8193
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Πολλά μέσα και καθετότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιαν 20, 2019 12:27 pm

Doloros έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 12:21 am
Πολλά μέσα.png

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ABC\,\,(A = 90^\circ ). Το ύψος AD το προεκτείνω, πέραν του D, κατά DE = \dfrac{1}{2}AD. Ας είναι δε M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N τα μέσα των DB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC αντίστοιχα.

Από τυχαίο σημείο K της AN γέρνω παράλληλη στη BC που τέμνει την EN στο σημείο P. Αν Q το συμμετρικό του P ως προς το K, δείξετε ότι NQ \bot AM.
Έστω T, S τα σημεία τομής των EM, EN με τις AB, AC αντίστοιχα και H το σημείο τομής των TS, AE.
Μέσα και καθετότητα.png
Μέσα και καθετότητα.png (20.1 KiB) Προβλήθηκε 419 φορές
\displaystyle A{D^2} = BD \cdot DC = 2MD \cdot 2DN = 4MD \cdot DN \Leftrightarrow MD \cdot DN = \frac{{A{D^2}}}{4} = D{E^2}

Άρα M\widehat EN=90^\circ, το τετράπλευρο ATES είναι εγγράψιμο και προφανώς τα τρίγωνα ABC, EMN είναι όμοια.

Οπότε, E\widehat AT=A\widehat ET, E\widehat AS=A\widehat ES και η TS είναι μεσοκάθετη του AE, δηλαδή AD=4HD.

Επειδή τώρα, \displaystyle AD \cdot HD = MD \cdot DN, το H είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου AMN. Αλλά, N, K είναι τα μέσα

των CD, PQ, άρα το Z είναι μέσο του HS, τα σημεία N, Q, H είναι συνευθειακά και το ζητούμενο έπεται.


Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2030
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Πολλά μέσα και καθετότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Κυρ Ιαν 20, 2019 2:00 pm

george visvikis έγραψε:...Επειδή τώρα, \displaystyle AD \cdot HD = MD \cdot DN, το H είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου AMN.
Εδώ νομίζω είναι όλα τα λεφτά. :coolspeak:

Κώστας Βήττας.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3952
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Πολλά μέσα και καθετότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Ιαν 21, 2019 11:34 pm

Doloros έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 12:21 am
Πολλά μέσα.png

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ABC\,\,(A = 90^\circ ). Το ύψος AD το προεκτείνω, πέραν του D, κατά DE = \dfrac{1}{2}AD. Ας είναι δε M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N τα μέσα των DB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC αντίστοιχα.

Από τυχαίο σημείο K της AN φέρνω παράλληλη στη BC που τέμνει την EN στο σημείο P. Αν Q το συμμετρικό του P ως προς το K, δείξετε ότι NQ \bot AM.
Για να χαιρετήσω την καταπληκτική γεωμετρική παρέα…!!!!
Πολλά μέσα και καθετότητα.png
Πολλά μέσα και καθετότητα.png (28.38 KiB) Προβλήθηκε 353 φορές
Με K το μέσο της PQ και ND\parallel PQ προκύπτει ότι η δέσμη N.PKQD είναι αρμονική άρα και η σειρά \left( E,A,S,D \right), με S\equiv NQ\cap AD , άρα \dfrac{ED}{EA}=\dfrac{SD}{SA}\overset{AD=2ED}{\mathop{=}}\,\dfrac{1}{3}\Rightarrow S το μέσο του DL με L το μέσο του AD . Τότε όμως στο τρίγωνο \vartriangle DLC θα είναι NQ\equiv SN\parallel CL:\left( 1 \right) (ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών του). Με CL\bot AM (ομόλογοι διάμεσοι των ομοίων ορθογωνίων τριγώνων \vartriangle ADC,\vartriangle BDA (με κάθετες τις πλευρές τους μια προς μια) από την \left( 1 \right) προκύπτει ότι και \boxed{NQ \bot AM} και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6600
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Πολλά μέσα και καθετότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Ιαν 21, 2019 11:56 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Δευ Ιαν 21, 2019 11:34 pm
Doloros έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 12:21 am
Πολλά μέσα.png

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ABC\,\,(A = 90^\circ ). Το ύψος AD το προεκτείνω, πέραν του D, κατά DE = \dfrac{1}{2}AD. Ας είναι δε M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N τα μέσα των DB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC αντίστοιχα.

Από τυχαίο σημείο K της AN φέρνω παράλληλη στη BC που τέμνει την EN στο σημείο P. Αν Q το συμμετρικό του P ως προς το K, δείξετε ότι NQ \bot AM.
Για να χαιρετήσω την καταπληκτική γεωμετρική παρέα…!!!!
Πολλά μέσα και καθετότητα.png
Με K το μέσο της PQ και ND\parallel PQ προκύπτει ότι η δέσμη N.PKQD είναι αρμονική άρα και η σειρά \left( E,A,S,D \right), με S\equiv NQ\cap AD , άρα \dfrac{ED}{EA}=\dfrac{SD}{SA}\overset{AD=2ED}{\mathop{=}}\,\dfrac{1}{3}\Rightarrow S το μέσο του DL με L το μέσο του AD . Τότε όμως στο τρίγωνο \vartriangle DLC θα είναι NQ\equiv SN\parallel CL:\left( 1 \right) (ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών του). Με CL\bot AM (ομόλογοι διάμεσοι των ομοίων ορθογωνίων τριγώνων \vartriangle ADC,\vartriangle BDA (με κάθετες τις πλευρές τους μια προς μια) από την \left( 1 \right) προκύπτει ότι και \boxed{NQ \bot AM} και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης
1) Άριστη λύση από το Γιώργο :clap2:

2) Να χαιρετήσω το Κώστα που στοχεύει πάντα σωστά.

3) Να αποδώσω τα εύσημα :clap2: στον εκπληκτικό Στάθη . Αυτή τη λύση περίμενα γιατί μ αυτό το σκεφτικό έφτιαξα την άσκηση.

.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες