Περίμετρος από αλλοπρόσαλλα δεδομένα

KARKAR · #1

: Περίμετρος από αλλοπρόσαλλα δεδομένα.png (8.15 KiB) Προβλήθηκε 1382 φορές

Το

είναι το έγκεντρο του τριγώνου $\displaystyle ABC$ . Αν $\tan\phi\cdot\tan\theta=\dfrac{1}{2}$ ,

υπολογίστε την περίμετρο του τριγώνου ( συναρτήσει της πλευράς

)

#2

Ελπίζω να μην έχω κάποιο λάθος, μέρα που είναι...

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Είναι $\displaystyle \eta \mu {\rm B} = \eta \mu 2\varphi = \frac{{2\varepsilon \varphi \varphi }}{{1 + \varepsilon {\varphi ^2}\varphi }},\;\;\sigma \upsilon \nu {\rm B} = \sigma \upsilon \nu 2\varphi = \frac{{1 - \varepsilon {\varphi ^2}\varphi }}{{1 + \varepsilon {\varphi ^2}\varphi }}$

και $\displaystyle \eta \mu C = \eta \mu 2\theta = \frac{{2\varepsilon \varphi \theta }}{{1 + \varepsilon {\varphi ^2}\theta }},\;\;\sigma \upsilon \nu C = \sigma \upsilon \nu 2\theta = \frac{{1 - \varepsilon {\varphi ^2}\theta }}{{1 + \varepsilon {\varphi ^2}\theta }}$

Είναι $\displaystyle \eta \mu {\rm A} = \eta \mu \left( {\pi - {\rm B} - C} \right) = \eta \mu \left( {{\rm B} + C} \right) = \frac{{2\varepsilon \varphi \varphi \left( {1 - \varepsilon {\varphi ^2}\theta } \right) + 2\varepsilon \varphi \theta \left( {1 - \varepsilon {\varphi ^2}\varphi } \right)}}{{\left( {1 + \varepsilon {\varphi ^2}\varphi } \right)\left( {1 + \varepsilon {\varphi ^2}\theta } \right)}}$

Είναι $\displaystyle \frac{b}{{\eta \mu {\rm B}}} = \frac{c}{{\eta \mu C}} = \frac{a}{{\eta \mu {\rm A}}} \Rightarrow b + c = \frac{{\eta \mu B + \eta \mu C}}{{\eta \mu \left( {B + C} \right)}}a$

Οπότε $\displaystyle b + c = \frac{{\frac{{2\varepsilon \varphi \varphi }}{{1 + \varepsilon {\varphi ^2}\varphi }} + \frac{{2\varepsilon \varphi \theta }}{{1 + \varepsilon {\varphi ^2}\theta }}}}{{\frac{{2\varepsilon \varphi \varphi \left( {1 - \varepsilon {\varphi ^2}\theta } \right) + 2\varepsilon \varphi \theta \left( {1 - \varepsilon {\varphi ^2}\varphi } \right)}}{{\left( {1 + \varepsilon {\varphi ^2}\varphi } \right)\left( {1 + \varepsilon {\varphi ^2}\theta } \right)}}}}a=$

$\displaystyle = \frac{{2\varepsilon \varphi \varphi \left( {1 + \varepsilon {\varphi ^2}\theta } \right) + 2\varepsilon \varphi \theta \left( {1 + \varepsilon {\varphi ^2}\varphi } \right)}}{{2\varepsilon \varphi \varphi \left( {1 - \varepsilon {\varphi ^2}\theta } \right) + 2\varepsilon \varphi \theta \left( {1 - \varepsilon {\varphi ^2}\varphi } \right)}}a = \frac{{3\left( {\varepsilon \varphi \varphi + \varepsilon \varphi \theta } \right)}}{{\varepsilon \varphi \varphi + \varepsilon \varphi \theta }} = 3a$ .

Άρα η περίμετρος του τριγώνου είναι

.

KARKAR · #3

Πότε τα σκέφτηκες , πότε τα έγραψες , θαύμα

#4

$\left\{ \begin{gathered} \tan \phi = \frac{r}{x} \hfill \\ \tan \theta = \frac{r}{y} \hfill \\ \tan \omega = \frac{r}{z} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \tan \phi \cdot \tan \theta = \dfrac{{{r^2}}}{{xy}} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \tan \phi + \tan \theta = (1 - \tan \phi \cdot \tan \theta )\tan (\phi + \theta ) \hfill \\ \tan \omega = \dfrac{r}{z} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και άρα

: Περίμετρος.png (17.44 KiB) Προβλήθηκε 1342 φορές

$\left\{ \begin{gathered} 2{r^2} = xy \hfill \\ \tan \omega = \tan (90^\circ - (\phi + \theta )) = \dfrac{1}{{\tan (\phi + \theta )}} \hfill \\ \tan \omega = \dfrac{r}{z} \hfill \\ \end{gathered} \right. = \dfrac{1}{{2(\tan \phi + \tan \theta )}}$

Δηλαδή : $\left\{ \begin{gathered} 2{r^2} = xy \hfill \\ \tan \omega = \dfrac{{xy}}{{2ra}} \hfill \\ \tan \omega = \dfrac{r}{z} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow z = a \Rightarrow a + b + c = 4a$

#5

KARKAR έγραψε: Παρ Ιαν 18, 2019 8:26 pm Περίμετρος από αλλοπρόσαλλα δεδομένα.pngΤο είναι το έγκεντρο του τριγώνου $\displaystyle ABC$ . Αν $\tan\phi\cdot\tan\theta=\dfrac{1}{2}$ ,

υπολογίστε την περίμετρο του τριγώνου ( συναρτήσει της πλευράς )

: Περίμετρος από αλλοπρόσαλλα δεδομένα.png (19.93 KiB) Προβλήθηκε 1306 φορές

$\displaystyle \tan (\varphi + \theta ) = \frac{{\tan \varphi + \tan \theta }}{{1 - \tan \varphi \tan \theta }} \Leftrightarrow \frac{s}{{{r_a}}} = \frac{{\frac{{BH + CZ}}{{{r_a}}}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{{\frac{{BD + DC}}{{{r_a}}}}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{2a}}{{{r_a}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{2s=4a}$

Math Rider · #6

Ακόμα μια

$\displaystyle{\tan{\phi}\tan{\theta}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{r}{s-b}\cdot \frac{r}{s-c}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow2r^2(s-a)=(s-a)(s-b)(s-c)\Leftrightarrow}$

$2r^2(s-a)=r^2s \Leftrightarrow s=2a\Leftrightarrow \boxed{2s=4a}$

Περίμετρος από αλλοπρόσαλλα δεδομένα

Περίμετρος από αλλοπρόσαλλα δεδομένα

Re: Περίμετρος από αλλοπρόσαλλα δεδομένα

Re: Περίμετρος από αλλοπρόσαλλα δεδομένα

Re: Περίμετρος από αλλοπρόσαλλα δεδομένα

Re: Περίμετρος από αλλοπρόσαλλα δεδομένα

Re: Περίμετρος από αλλοπρόσαλλα δεδομένα

Μέλη σε σύνδεση