Συντρέχεια στο μέσον

[sakis1963]

GEOMETRIA220-FB2707.jpg (35.3 KiB) Προβλήθηκε 649 φορές

Εστω τυχαίο σημείο της βάσης τριγώνου .

Επι των πλευρών "παίρνουμε" σημεία αντίστοιχα, ώστε και .

Αν είναι τα μέσα των τμημάτων αντίστοιχα,

δείξτε ότι τα συντρέχουν στο μέσον του , όπου το έκκεντρο του

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Μιας και δεν απαντήθηκε:

Θα αποδείξουμε πως η διέρχεται από το μέσο του , το . Όμοια θα διέρχεται από το και η .

Παρατηρούμε πως .

Θα δείξουμε .

Έστω πως η τέμνει την στο .

Από το Θεώρημα Μενελάου στο συμπεραίνουμε ότι:



.

Άρα , άρα αφού το τρίγωνο είναι ισοσκελές προκύπτει ότι η είναι παράλληλη με την εξωτερική διχοτόμο . Με άλλα λόγια και το ζητούμενο έπεται.