Ας μηδενιστούμε

Tolaso J Kos · #1

Δίδεται η συνεχής συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία ισχύει:

$\displaystyle{\left | f(x) \right | \leq \left | \int_{0}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t \right | \quad \quad \text{\gr για κάθε} \;\;\; x\in \mathbb{R} \qquad \qquad (1)}$
Να δειχθεί ότι $f(x)=0 \;, \; x \in \mathbb{R}$ .

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 27, 2019 9:34 am
Δίδεται η συνεχής συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία ισχύει:

$\displaystyle{\left | f(x) \right | \leq \left | \int_{0}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t \right | \quad \quad \text{\gr για κάθε} \;\;\; x\in \mathbb{R} \qquad \qquad (1)}$
Να δειχθεί ότι $f(x)=0 \;, \; x \in \mathbb{R}$ .

Μάλλον την έχουμε ξαναδεί, την ίδια ή παρόμοια.

Για σταθερό x>0

, έστω

άνω φράγμα της |f|

στο $[0,\, x]$ . Έχουμε

$\displaystyle{\displaystyle{\left | f(x) \right | \leq \left | \int_{0}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t \right | \leq \int_{0}^{x} \left | f(t) \right |\, \mathrm{d}t \leq \int_{0}^{x} M\, \mathrm{d}t = Mx}$

Με χρήση αυτού στην θέση του

έχουμε επαγωγικά $\displaystyle{\displaystyle{0\leq\left | f(x) \right | \leq M \frac {x^n}{n!} \to 0}$ . Άρα f(x)=0

. Όμοια για x<0

και προφανές από την αρχική για x=0

(άλλωστε βγαίνει από από συνέχεια από τα προηγούμενα).

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 27, 2019 11:28 am

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 27, 2019 9:34 am
Δίδεται η συνεχής συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία ισχύει:

$\displaystyle{\left | f(x) \right | \leq \left | \int_{0}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t \right | \quad \quad \text{\gr για κάθε} \;\;\; x\in \mathbb{R} \qquad \qquad (1)}$
Να δειχθεί ότι $f(x)=0 \;, \; x \in \mathbb{R}$ .
Μάλλον την έχουμε ξαναδεί, την ίδια ή παρόμοια.

Για σταθερό , έστω άνω φράγμα της στο $[0,\, x]$ . Έχουμε

$\displaystyle{\displaystyle{\left | f(x) \right | \leq \left | \int_{0}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t \right | \leq \int_{0}^{x} \left | f(t) \right |\, \mathrm{d}t \leq \int_{0}^{x} M\, \mathrm{d}t = Mx}$

Με χρήση αυτού στην θέση του έχουμε επαγωγικά $\displaystyle{\displaystyle{0\leq\left | f(x) \right | \leq M \frac {x^n}{n!} \to 0}$ . Άρα . Όμοια για και προφανές από την αρχική για (άλλωστε βγαίνει από από συνέχεια από τα προηγούμενα).

Να σημειώσω ότι δεν χρειάζεται η συνέχεια της συνάρτησης.
Η συνάρτηση απλά πρέπει να είναι ολοκληρώσιμη σε κάθε διάστημα της μορφής
[0,x]

η

.

#4

Τέσσερις τρόποι ουσιαστικά ισοδύναμης άσκησης εκεί. Ο ένας τρόπος είναι ο παραπάνω, αλλά υπάρχουν άλλοι τρεις.

Ας μηδενιστούμε

Ας μηδενιστούμε

Re: Ας μηδενιστούμε

Re: Ας μηδενιστούμε

Re: Ας μηδενιστούμε

Μέλη σε σύνδεση