Γωνία και τμήμα

#1

: Γωνία και τμήμα..png (13.67 KiB) Προβλήθηκε 939 φορές

Στο τρίγωνο ABC

του σχήματος η

διχοτομεί τη γωνία $\widehat B$ και $A\widehat HC=90^\circ.$ Να υπολογίσετε:

α) τη γωνία $\widehat B$ .......................... β) το τμήμα AH=x

συναρτήσει της πλευράς BC=a.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Καλησπέρα

α)
$\widehat{B}=180-\widehat{A}-\widehat{C}=180-\left ( 30+\widehat{HAC} \right )-\left ( 15+\widehat{HCA} \right )=135-\left ( \widehat{HAC}+\widehat{HCA} \right )=135-90=...=45^{\circ}$
β)
Νόμος ημιτόνων στο BAH

$\dfrac{x}{\eta \mu 22.5}=\dfrac{BH}{\eta \mu 30}\Leftrightarrow x=2\eta \mu 22.5BH$
Νόμος ημιτόνων στο BHC

$\dfrac{BH}{\eta \mu 15}= \dfrac{a}{\eta \mu 142.5}\Leftrightarrow BH=\dfrac{a\eta \mu 15}{\eta \mu 142.5}$
Άρα $x=2\eta \mu 22.5\cdot \dfrac{a\cdot \eta \mu 15}{\eta \mu 142.5}$
Για να βρω την ακριβή τιμή:

Σχεδιάζουμε ορθογώνιο τρίγωνο ABC

(

ορθή) με $C=30^{\circ}$ και φέρουμε διχοτόμο

.Από θεώρημα διχοτόμων και αντικαταστάσεις πέρνουμε $\eta \mu 15=\dfrac{1}{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}$
Κάνουμε το ίδιο και για την

και βρίσκουμε $\eta \mu 22,5=\dfrac{1}{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}$
Μετά παρατηρούμε ότι 142,5+15+22,5=180

και κατασκευάζουμε τρίγωνο KLM

με $\widehat{K}=22.5^{\circ},\widehat{L}=142.5^{\circ},\widehat{M}=15^{\circ}$ και ύψος LT=1

.Βρίσκουμε ότι
$\eta \mu 142,5=\dfrac{\sqrt{3+2\sqrt{2}}+\sqrt{7+4\sqrt{3}}}{2\sqrt{2+\sqrt{3}}\sqrt{4+2\sqrt{2}}}$
και με αντικατάσταση στον τύπο παίρνουμε
$x=\dfrac{2a}{\sqrt{3+2\sqrt{2}}+\sqrt{7+4\sqrt{3}}}.$

#3

α) $\left\{ \begin{gathered} \widehat {EHA} = 30^\circ + \widehat \omega \hfill \\ \widehat {CHE} = 15^\circ + \widehat \omega \hfill \\ \end{gathered} \right.$ προσθέτω κι έχω: $90^\circ = 45^\circ + 2\widehat \omega \Rightarrow \boxed{\widehat {ABC} = 2\widehat \omega = 45^\circ }$

β) Προεκτείνω τη

μέχρι να κόψει την

στο

.

Προφανώς το $\vartriangle DBC \to (120^\circ ,\,\,45^\circ ,\,\,15^\circ )$ . Γράφω το περίκυκλο του $\vartriangle DBC$ και έστω

το κέντρο του και

η ακτίνα του . Επειδή το τρίγωνο SBC

είναι ισόπλευρο

$BC = a = R\sqrt 3 \Leftrightarrow \boxed{R = \frac{a}{{\sqrt 3 }}}$ εκφράζω τώρα τα και μήκη :

$DC,\,\,DB = u\,\,,\,\,DH = v,\,\,AH = x$ ως συνάρτηση του

και έχω :

: Γωνία και τμήμα.png (45.7 KiB) Προβλήθηκε 878 φορές

$\left\{ \begin{gathered} a = R\sqrt 3 \hfill \\ DC = R\sqrt 2 \,\,\widehat {(DKC} = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ ) \hfill \\ \frac{u}{{\sin 15^\circ }} = \frac{a}{{\sin 120^\circ }} \hfill \\ v = \frac{{DC \cdot u}}{{a + u}}\,\,(\,\,\theta .\,\,\delta \iota \chi o\tau o\mu o\upsilon ) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} a = R\sqrt 3 \hfill \\ DC = R\sqrt 2 \, \hfill \\ u = R\frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{2} \hfill \\ x = v\sqrt 3 = R\left( {6 - 3\sqrt 3 + \frac{{5\sqrt 6 }}{2} - \frac{{9\sqrt 2 }}{2}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

ή τελικά ως έκφραση του

και είναι : $\boxed{x = a\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2} + 2\sqrt 3 - \frac{{3\sqrt 6 }}{2} - 3} \right)}$

#4

Ας δούμε διαφορετικά το β) ερώτημα. Η

τέμνει τη

στο

και έστω

το μέσο του PC.

: Γωνία και τμήμα.β.png (18.65 KiB) Προβλήθηκε 840 φορές

$H\widehat MP=30^\circ$ και HM=MP=MC=x.

Με νόμο συνημιτόνων στο HMP,

είναι $\displaystyle HP = \frac{{x(\sqrt 3 - 1)}}{{\sqrt 2 }}$

Θ.διχοτόμου στο BAP,

$\displaystyle \frac{{x(\sqrt 3 - 1)}}{{x\sqrt 2 }} = \frac{{a - 2x}}{{a - x}} \Leftrightarrow x = \frac{{a(\sqrt 2 - \sqrt 3 + 1)}}{{2\sqrt 2 - \sqrt 3 + 1}}$ και με ρητοποίηση του παρονομαστή

$\boxed{x = \frac{a}{2}\left( {5\sqrt 2 + 4\sqrt 3 - 3\sqrt 6 - 6} \right)}$

Γωνία και τμήμα

Γωνία και τμήμα

Re: Γωνία και τμήμα

Re: Γωνία και τμήμα

Re: Γωνία και τμήμα

Μέλη σε σύνδεση