Σύνολο τιμών
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Σύνολο τιμών
Έστω
.
Να βρείτε όλες τις τιμές που μπορεί να πάρει τουλάχιστον μια εκ των παραπάνω συναρτήσεων.
.
Να βρείτε όλες τις τιμές που μπορεί να πάρει τουλάχιστον μια εκ των παραπάνω συναρτήσεων.
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Κυρ Ιαν 27, 2019 9:45 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Σύνολο τιμών
Επαναφορά.
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Re: Σύνολο τιμών
Μια προσπάθεια.
Εστω με μεταβλητή την και παράμετρο την .
Θα πρέπει δηλ. ετερόσημο του άρα με διακρίνουσα μη αρνητική και το να κινείται εντός των ριζών.
Για κάθε πιθανό η για . Τότε
Τώρα αναζητούμε το όπου μεγιστοποιείται η
Με παραγώγιση βρίσκουμε ότι έχουμε μέγιστο για
Τότε το μέγιστο είναι:
Το ελάχιστο της λαμβάνεται για γιατί τότε που είναι και ελάχιστη αποδεκτή τιμή για το ριζικό, ενώ έχουμε και την ελάχιστη αποδεκτή τιμή του .
Αρα
Συνοψίζοντας έχουμε ότι το πεδίο τιμών της είναι .
Προφανώς οι συναρτήσεις είναι συνεχείς.
Εργαζόμαστε με παρόμοιο τρόπο και λαμβάνουμε ότι το πεδίο τιμών της είναι:
Τελικά παίρνουμε την ένωση των δύο διαστημάτων που μας δίνει το ζητούμενο:
Ελπίζω να μην μου ξέφυγε κάτι.
Εστω με μεταβλητή την και παράμετρο την .
Θα πρέπει δηλ. ετερόσημο του άρα με διακρίνουσα μη αρνητική και το να κινείται εντός των ριζών.
Για κάθε πιθανό η για . Τότε
Τώρα αναζητούμε το όπου μεγιστοποιείται η
Με παραγώγιση βρίσκουμε ότι έχουμε μέγιστο για
Τότε το μέγιστο είναι:
Το ελάχιστο της λαμβάνεται για γιατί τότε που είναι και ελάχιστη αποδεκτή τιμή για το ριζικό, ενώ έχουμε και την ελάχιστη αποδεκτή τιμή του .
Αρα
Συνοψίζοντας έχουμε ότι το πεδίο τιμών της είναι .
Προφανώς οι συναρτήσεις είναι συνεχείς.
Εργαζόμαστε με παρόμοιο τρόπο και λαμβάνουμε ότι το πεδίο τιμών της είναι:
Τελικά παίρνουμε την ένωση των δύο διαστημάτων που μας δίνει το ζητούμενο:
Ελπίζω να μην μου ξέφυγε κάτι.
Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Re: Σύνολο τιμών
Πολύ καλό!
Στα ίδια αποτελέσματα καταλήγω.
Με ενδιαφέρει, αν γίνεται, κι άλλη διαπραγμάτευση.
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Σύνολο τιμών
Η αλήθεια είναι η ανάρτηση ήθελε να εκμαιεύσει μια διαφορετική λύση. Παρ' όλα αυτά η λύση του Αλέξανδρου είναι πολύ όμορφη και την διατήρησε στα πλαίσια της σχολικής ύλης.
Re: Σύνολο τιμών
Καλημέρα,Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Τετ Ιαν 30, 2019 10:08 pmΗ αλήθεια είναι η ανάρτηση ήθελε να εκμαιεύσει μια διαφορετική λύση. Παρ' όλα αυτά η λύση του Αλέξανδρου είναι πολύ όμορφη και την διατήρησε στα πλαίσια της σχολικής ύλης.
Μια κάπως διαφορετική λύση, αλλά εκτός σχολικής ύλης (υποθέτω) είναι με χρήση μερικών παραγώγων. Συγκεκριμένα η λύση του συστήματος:
,
προκύπτει εύκολα και είναι:
(παίρνουμε την μεγαλύτερη),
που δίνει τα ακρότατα (εδώ το μέγιστο) της με την κατάλληλη διερεύνηση.
Με εφαρμογή αυτών και στην καταλήγουμε τελικά στο ίδιο αποτέλεσμα.
Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Σύνολο τιμών
Εχουμε ότι
Αν θέσουμε
γίνεται
Είναι προφανές (είναι;) ότι οι δύο παραστάσεις έχουν το ίδιο σύνολο τιμών.
Μόνο που η
είναι πολύ πιο εύκολη.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Σύνολο τιμών
Για λόγους πλουραλισμού (και διδακτικούς) παραθέτω παρακάτω την επίσημη λύση:
Το ζητούμενο σύνολο συμπίμπτει με το σύνολο τιμών του , για τα οποία είναι επιλύσιμο ως προς τα το σύνολο (σύστημα)
Το σύστημα αυτό είναι ισοδύναμο με την εξίσωση
δηλαδή με την εξίσωση
.
η επιλυσιμότητα αυτής της εξίσωσης ως προς για σταθερά είναι ισοδύναμη με την μη αρνητικότητα της διακρίνουσάς της. Επομένως, το αρχικά ζητούμενο σύνολο συμπίπτει με το σύνολο εκείνων των , για τα οποία ως προς είναι επιλύσιμη η ανίσωση
η οποία γρέφεται στην παρακάτω μορφή:
.
Αυτή είναι επιλύσιμη αν και μόνο αν η διακρίνουσά της είναι μη αρνητική. Δηλαδή, όταν
.
Επομένως, το ζητούμενο σύνολο τιμών είναι το διάστημα .
Re: Σύνολο τιμών
Αλέξανδρε, πολύ καλό και σε ευχαριστούμε για τον κόπο και χρόνο που αφιερώνεις για τις αναρτήσεις σου!Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Σάβ Μαρ 16, 2019 2:07 pm
Το ζητούμενο σύνολο συμπίμπτει με το σύνολο τιμών του , για τα οποία είναι επιλύσιμο ως προς τα το σύνολο (σύστημα)
Έτσι από ενδιαφέρον θέλω να σε ρωτήσω, στο παραπάνω χρησιμοποιούν την λέξη "σύστημα";
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5285
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Σύνολο τιμών
Καλημέρα σε όλους.Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Σάβ Μαρ 16, 2019 2:07 pmη επιλυσιμότητα αυτής της εξίσωσης ως προς για σταθερά είναι ισοδύναμη με την μη αρνητικότητα της διακρίνουσάς της. Επομένως, το αρχικά ζητούμενο σύνολο συμπίπτει με το σύνολο εκείνων των , για τα οποία ως προς είναι επιλύσιμη η ανίσωση
η οποία γρέφεται στην παρακάτω μορφή:
.
Αυτή είναι επιλύσιμη αν και μόνο αν η διακρίνουσά της είναι μη αρνητική. Δηλαδή, όταν
.
Επομένως, το ζητούμενο σύνολο τιμών είναι το διάστημα .
Παρατηρώ ότι στην επίσημη λύση που μάς παρουσιάζει ο Αλέξανδρος δεν γίνεται επαλήθευση.
Αναρωτιέμαι αν πρέπει να ελέγξουμε αν υπάρχουν που να ανήκουν στο (κοινό) πεδίο ορισμού των συναρτήσεων για τα οποία να είναι , εφόσον το δεν είναι ανεξάρτητη παράμετρος, αλλά είναι συνάρτηση των .
Θα ήθελα τη γνώμη σας.
Έχω στο νου μου την πρόσφατη συζήτηση ΕΔΩ.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Σύνολο τιμών
Η αλήθεια είναι όχι (θα έπρεπε να χρησιμοποιήσω το σύμβολο της αγκύλης όπως στο πρωτότυπο σελ. 7 και όχι άγκιστρο). Είναι ένα μεταφραστικό ατόπημα από την πλευρά μου λόγω του περιορισμένου των γνώσεων μου σε μαθηματικά, ελληνική ορολογία και ρωσικά. Αν και η μη καλή γνώση ρωσικών δεν έπαιξε σημαντικό ρόλο σε αυτή την περίπτωση.rek2 έγραψε: ↑Κυρ Μαρ 17, 2019 8:26 amΈτσι από ενδιαφέρον θέλω να σε ρωτήσω, στο παραπάνω χρησιμοποιούν την λέξη "σύστημα";Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Σάβ Μαρ 16, 2019 2:07 pm
Το ζητούμενο σύνολο συμπίμπτει με το σύνολο τιμών του , για τα οποία είναι επιλύσιμο ως προς τα το σύνολο (σύστημα)
Η λέξη που χρησιμοποιείται είναι η "совокупность", προφέρεται "σαβακούπνοστ".
Σαβακούπνοστ εξισώσεων (ανισώσεων) ονομάζεται η γραφή που αναπαριστά μια συλλογή μερικών εξισώσεων (ανισώσεων), η μια δίπλα στην άλλη, οι οποίες συνήθως από αριστερά ενώνονται με μια αγκύλη και συμβολίζουν το σύνολο όλων εκείνων των λύσεων, οι οποίες αποτελούν λύση τουλάχιστον μίας εκ των εξισώσεων (ανισώσεων) του σαβακούπνοστ.
Λύση του σαβακούπνοστ δυο, τριών ή περισσότερων μεταβλητών ονομάζεται η δυάδα, τριάδα κτλ. τιμών των μεταβλητών, που αποτελούν λύση τουλάχιστον μιας εκ των εξισώσεων (ανισώσεων) του σαβακούπνοστ.
(Γενικότερα το ρόλο της εξίσωσης σε ένα σαβακούπνοστ μπορεί να έχει και ένα σύστημα εξισώσεων κτλ.)
Οπότε το πιο σωστό θα ήταν να γραφεί:
Το ζητούμενο σύνολο συμπίμπτει με το σύνολο τιμών του , για τα οποία είναι επιλύσιμο ως προς τα το "σαβακούπνοστ"
Αυτό το "σαβακούπνοστ" είναι ισοδύναμο με την εξίσωση
κτλ...
Αν υπάρχει η αντίστοιχη ορολογία στα ελληνικά, τότε η αρχική ανάρτηση διορθώνεται εύκολα .
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Σύνολο τιμών
Καλησπέρα κ.Γιώργο,Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑Κυρ Μαρ 17, 2019 9:43 am
Καλημέρα σε όλους.
Παρατηρώ ότι στην επίσημη λύση που μάς παρουσιάζει ο Αλέξανδρος δεν γίνεται επαλήθευση.
Αναρωτιέμαι αν πρέπει να ελέγξουμε αν υπάρχουν που να ανήκουν στο (κοινό) πεδίο ορισμού των συναρτήσεων για τα οποία να είναι , εφόσον το δεν είναι ανεξάρτητη παράμετρος, αλλά είναι συνάρτηση των .
Θα ήθελα τη γνώμη σας.
Έχω στο νου μου την πρόσφατη συζήτηση ΕΔΩ.
Νομίζω στην συγκεκριμένη περίπτωση δε χρειάζεται τέτοιος έλεγχος. Εδώ δεν είναι σε "πεπλεγμένη" μορφή η εξίσωση και η διακρίνουσα είναι ανεξάρτη της μεταβλητής ως προς την οποία την θεωρούμε.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες