Εύρεση τύπου

pito · #1

Καλημέρα

Να βρεθεί ο τύπος της συνεχούς συνάρτησης $f:R\rightarrow R$ τέτοιας ώστε
$2\int_{0}^{x}t(e^{t}-1)f(t)dt=\int_{0}^{x}t^{2}f^{2}(t)dt+\int_{0}^{x}(e^{t}-1)^{2}dt$ (από ΨΕΒ)

Chatzibill · #2

$\int_{0}^{x}t^2f^2(t)-2(e^t-1)tf(t)+(e^t-1)^2dt=0 \Rightarrow \int_{0}^{x}(e^t-1-tf(t))^2dt=0$ $\Rightarrow e^t-1-tf(t)=0 \Rightarrow f(t)=\frac{e^t-1}{t} ,t\neq 0$
Λόγω συνέχειας $f(0)=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{e^t-1}{t}=1$

Chatzibill · #3

Chatzibill έγραψε: Δευ Φεβ 04, 2019 11:44 am $\int_{0}^{x}t^2f^2(t)-2(e^t-1)tf(t)+(e^t-1)^2dt=0 \Rightarrow \int_{0}^{x}(e^t-1-tf(t))^2dt=0$ $\Rightarrow e^t-1-tf(t)=0 \Rightarrow f(t)=\frac{e^t-1}{t} ,t\neq 0$
Λόγω συνέχειας $f(0)=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{e^t-1}{t}=1$

Όσον αφορά το σημείο της απάντησης : $\int_{0}^{x}(e^t-1-tf(t))^2dt=0 \Rightarrow e^t -1 -tf(t)=0$
Έστω ότι υπάρχει σημείο $r\neq 0$ της $g(t)=(e^t-1-tf(t))^2 ,t\in \mathbb{R} | g(r)>0$ , (προφανώς δεν μπορεί να είναι αρνητικό) τότε το δοθέν ολοκλήρωμα θα είναι θετικό εάν x>0

και αρνητικό εάν x<0

.
ΆΤΟΠΟ, άρα το η συνάρτηση g είναι η μηδενική και το ζητούμενο έπεται

Εύρεση τύπου

Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Re: Εύρεση τύπου

Μέλη σε σύνδεση