Εφαπτομένη ..κύβος

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλή Κυριακή σε όλους.

: Εφαπτομένη ..πολύτιμος κύβος.PNG (9.6 KiB) Προβλήθηκε 774 φορές

Στο τρίγωνο ABC

είναι $B\widehat{A}C=90^{0}$ και το

ύψος του. Αν AD=1

και $CD^{3}-BD^{3}=76$ τότε

1)Να εξεταστεί αν η tanB

είναι κύβος περίφημου αριθμού.

Ο κύκλος (D,DA=1)

τέμνει την

στο

και την

στο

2)Να υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{\left ( DHZ \right ) }{\left ( DAZ \right )}$
Ευχαριστώ , Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 10, 2019 1:50 am
Καλή Κυριακή σε όλους.
Εφαπτομένη ..πολύτιμος κύβος.PNG
Στο τρίγωνο είναι $B\widehat{A}C=90^{0}$ και το ύψος του. Αν και $CD^{3}-BD^{3}=76$ τότε

1)Να εξεταστεί αν η είναι κύβος περίφημου αριθμού.

Ο κύκλος τέμνει την στο και την στο

2)Να υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{\left ( DHZ \right ) }{\left ( DAZ \right )}$
Ευχαριστώ , Γιώργος.

Καλό μεσημέρι σε όλους!

: Εφαπτομένη...κύβος.png (15.71 KiB) Προβλήθηκε 717 φορές

1) $\displaystyle \tan B = {\Phi ^3}$ .......... 2) $\dfrac{\left ( DHZ \right ) }{\left ( DAZ \right )}=2$

Αργότερα η λύση.

Επεξεργασία: Άρση απόκρυψης.

Σταμ. Γλάρος · #3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 10, 2019 1:50 am
Καλή Κυριακή σε όλους.
Εφαπτομένη ..πολύτιμος κύβος.PNG
Στο τρίγωνο είναι $B\widehat{A}C=90^{0}$ και το ύψος του. Αν και $CD^{3}-BD^{3}=76$ τότε

1)Να εξεταστεί αν η είναι κύβος περίφημου αριθμού.

Ο κύκλος τέμνει την στο και την στο

2)Να υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{\left ( DHZ \right ) }{\left ( DAZ \right )}$
Ευχαριστώ , Γιώργος.

Καλησπέρα και καλή Κυριακή.
Μια προσπάθεια στο πρώτο υποερώτημα.
Στο ορθογώνιο τρίγωνο ACD

είναι : $cotC=\dfrac{CD}{AD}=\dfrac{CD}{1}= CD$ και στο ορθογώνιο τρίγωνο ABD

είναι : $tan A_{1}=\dfrac{BD}{AD}= \dfrac{BD}{1}=BD$ ,
όπου $A_1= \hat{BAD}$ .
Συνεπώς έχουμε $CD^{3}-BD^{3}= cot^3C-tan^3A_1= cot^3\left ( 90^o-B \right )-tan^3( 90^o-B \right ))$ = tan^3 B-cot^3B =76

.
Θέτοντας στην τελευταία όπου tan^3B=t

, προκύπτει η δευτεροβάθμια εξίσωση t^2-76t-1

με διακρίνουσα: $\Delta =2^2\cdot 17^2\cdot 5$ ,
από όπου προκύπτει δεκτή ρίζα η $t=38+17\sqrt{5}$ . Επομένως έχουμε : $tanB= \sqrt[3]{38+17\sqrt{5}}=\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})^3}=\phi ^3$ .
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

#4

: Εφαπτομένη...κύβος.png (15.71 KiB) Προβλήθηκε 687 φορές

1) Έστω

Επειδή

θα είναι $\displaystyle xy = 1 \Rightarrow {x^3} - {y^3} = 76 \Leftrightarrow {x^3} - \frac{1}{{{x^3}}} = 76\mathop \Leftrightarrow \limits^{{x^3} = t} {t^2} - 76t - 1 = 0$

Η συνέχεια όπως και ο Σταμάτης με αποτέλεσμα $\boxed{\tan B = {\Phi ^3}}$

2) Τα τρίγωνα είναι και τα δύο ισοσκελή και οι ίσες πλευρές τους είναι

Άρα: $\displaystyle \frac{{(DAZ)}}{{(DHZ)}} = \frac{{\sin \omega }}{{\sin (90^\circ - \omega )}} =$

$\displaystyle \tan \omega = \tan (180^\circ - 2B) = - \tan 2B = \frac{{2\tan B}}{{{{\tan }^2}B - 1}} = \frac{{2(2 + \sqrt 5 )}}{{4(2 + \sqrt 5 )}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{(DHZ)}}{{(DAZ)}} = 2}$

Εφαπτομένη ..κύβος

Εφαπτομένη ..κύβος

Re: Εφαπτομένη ..κύβος

Re: Εφαπτομένη ..κύβος

Re: Εφαπτομένη ..κύβος

Μέλη σε σύνδεση