Ελληνογαλλική φιλία

KARKAR · #1

: Σταθερό και .... ορθόκεντρο.png (12.7 KiB) Προβλήθηκε 1023 φορές

$\bigstar$ Το τρίγωνο $\displaystyle ABC$ έχει σταθερό ύψος AD=7

, ενώ η βάση του

αποτελείται από τα

μεταβλητά τμήματα BD=k

και

. α) Δείξτε ότι η διάμεσος

, διέρχεται από

σταθερό σημείο ...β) Βρείτε το

, ώστε : $CM \perp AB$ . Η ελληνογαλλική φιλία επανέρχεται

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Καλησπέρα!

Η καθετότητα $CM\perp AB$ στο σχήμα μου είναι μόνο για το β ερώτημα.
Το

είναι το μέσο της

,υποτίνουσας ορθογωνίου τριγώνου.
Επίσης τα DTC

και

είναι όμοια άρα $\dfrac{DT}{ML}=\dfrac{DC}{LC}$

Από τα παραπάνω έχουμε:

$\dfrac{DT}{ML}=\dfrac{CD}{CL}\Leftrightarrow \dfrac{DT^2}{ML^2}=\dfrac{CD^2}{CL^2}\Leftrightarrow DT^2=\dfrac{ML^2\cdot CD^2}{CL^2}=\dfrac{\left ( MD^2-LD^2 \right )\left ( 3k \right )^2}{\left ( 3k+\dfrac{k}{2} \right )^2}=\dfrac{\left [ \left ( \dfrac{AB}{2} \right )^2 - \left (\dfrac{k}{2} \right )^2 \right ]9k^2 }{\dfrac{49k^2}{4}} =..=\dfrac{\left ( \dfrac{\left ( 7^2+k^2 \right )-k^2}{4} \right )9k^2}{\dfrac{49k^2}{4}}=\dfrac{4\cdot 49\cdot 9k^2}{49\cdot 4k^2}=9\Leftrightarrow DT=3$

Άρα

σταθερό

Για το β, πρέπει ABC

ισοσκελές με

βάση άρα $AC^2=AD^2+CD^2\Leftrightarrow 16k^2=9k^2+49\Leftrightarrow 7k^2=49\Leftrightarrow k=\sqrt{7}$

#3

Αν

το μέσο του

θα είναι $EC = 2k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD = DE = k$ . Έστω ακόμα

το σημείο τομής των

και ΑΕ .

Επειδή $AM = MB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD = DE$ θα είναι :

$AE// = 2DM\,\,\,(1)$ . Ας πούμε λοιπόν

το σημείο τομής των $AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CM$ . Θέτω $GE = 2m\,\,,\,\,m > 0$ και θα είναι :

MD = 3m

οπότε λόγω της (1)

έχω $AE = 6m \Rightarrow AG = 4m$ . Επειδή $\dfrac{{AS}}{{SD}} = \dfrac{{AG}}{{MD}} = \dfrac{4}{3}\,\,\left( {\vartriangle ASG \approx \vartriangle DSM} \right)\,\,\, \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} AS = 4 \hfill \\ SD = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Δηλαδή το

σταθερό σημείο του σταθερού ύψους AD = 7

.

Τώρα αν $CM \bot AB$ θα είναι DM = MA = MB = 3m

και θα ισχύουν ταυτόχρονα:

: Ελλημογαλλική φιλία.png (19.63 KiB) Προβλήθηκε 928 φορές

$\left\{ \begin{gathered} A{B^2} = A{D^2} + D{B^2} \hfill \\ \cos \theta = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AM}}{{AS}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 36{m^2} = 49 + {k^2} \hfill \\ \cos \theta = \frac{7}{{6m}} = \frac{{3m}}{4} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 36{m^2} = 49 + {k^2} \hfill \\ 9{m^2} = 14 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

και αν διαιρέσουμε κατά μέλη προκύπτει : ${k^2} + 49 = 56 \Rightarrow \boxed{k = \sqrt 7 }$

Απέφυγα Θ. Μενελάου στο πρώτο ερώτημα και δύναμη σημείου στο δεύτερο αλλά και πάλι ίσως είμαι εκτός φακέλου

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 10, 2019 2:20 pm
Σταθερό και .... ορθόκεντρο.png $\bigstar$ Το τρίγωνο $\displaystyle ABC$ έχει σταθερό ύψος , ενώ η βάση του αποτελείται από τα

μεταβλητά τμήματα και . α) Δείξτε ότι η διάμεσος , διέρχεται από

σταθερό σημείο ...β) Βρείτε το , ώστε : $CM \perp AB$ . Η ελληνογαλλική φιλία επανέρχεται

$\displaystyle \frac{{AN}}{{ND}} = \frac{{\left( {AMN} \right)}}{{\left( {MND} \right)}} = \frac{{\left( {MBN} \right)}}{{\left( {MND} \right)}} = \frac{{BQ}}{{DP}} = \frac{{BC}}{{DC}} = \frac{4}{3} \Rightarrow \boxed{AN = 4,ND = 3}$ .Άρα $\displaystyle N$ σταθερό σημείο.

Όταν $\displaystyle CM \bot AB \Rightarrow Q \equiv M$ και $\displaystyle CDMA$ εγγράψιμο $\displaystyle \Rightarrow k \cdot 4k = \frac{c}{2} \cdot c \Rightarrow {c^2} = 8{k^2} = {k^2} + {7^2} \Rightarrow \boxed{k = \sqrt 7 }$

: σταθερό και υπολογισμός.png (16.87 KiB) Προβλήθηκε 899 φορές

#5

Αλλιώς για το β).

: Ελληνογαλλική φιλία.png (12.25 KiB) Προβλήθηκε 867 φορές

Τα τρίγωνα AMS, ADB

είναι όμοια, άρα $\displaystyle \frac{{c/2}}{7} = \frac{4}{c} \Leftrightarrow {c^2} = 56$ και με Π.Θ στο ABD,

$\displaystyle {k^2} = 56 - 49 \Leftrightarrow$ $\boxed{k=\sqrt 7}$

KARKAR · #6

: Σταθερό και .... ορθόκεντρο.png (17.41 KiB) Προβλήθηκε 834 φορές

Ο τίτλος παραπέμπει σε καρτεσιανή αντιμετώπιση του α) . Βέβαια , θεώρησα ότι για τους juniors

θεωρείται γνωστό το να βρίσκουν εξίσωση ευθείας διερχόμενης από δύο σημεία ...

Ελληνογαλλική φιλία

Ελληνογαλλική φιλία

Re: Ελληνογαλλική φιλία

Re: Ελληνογαλλική φιλία

Re: Ελληνογαλλική φιλία

Re: Ελληνογαλλική φιλία

Re: Ελληνογαλλική φιλία

Μέλη σε σύνδεση