Ελάχιστη απόσταση

Tolaso J Kos · #1

Να βρεθεί η ελάχιστη απόσταση μεταξύ της παραβολής y=x^2

και της λογαριθμικής $y=\ln x$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

KARKAR · #2

: Ελάχιστη απόσταση.png (13.01 KiB) Προβλήθηκε 1302 φορές

Το ελάχιστο επιτυγχάνεται για τα σημεία A,B

των δύο καμπυλών , στα οποία άγονται

παράλληλες εφαπτόμενες και το

είναι κάθετο σ' αυτές .

Είναι λοιπόν : $2a=\dfrac{1}{b}$ και $\dfrac{lnb-a^2}{b-a}=-b$ , το οποίο δίνει

(με χρήση λογισμικού : b=0.9290784

και επομένως : $(AB)_{min}=0.53359$ .

Η τιμή που προτείνει ο Αποστόλης είναι περίπου 0,53033

και πιθανότατα δεν μπορεί να πιασθεί .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 11, 2019 2:32 pm
Ελάχιστη απόσταση.pngΤο ελάχιστο επιτυγχάνεται για τα σημεία των δύο καμπυλών , στα οποία άγονται

παράλληλες εφαπτόμενες και το είναι κάθετο σ' αυτές .

Είναι λοιπόν : $2a=\dfrac{1}{b}$ και $\dfrac{lnb-a^2}{b-a}=-b$ , το οποίο δίνει

(με χρήση λογισμικού : και επομένως : $(AB)_{min}=0.53359$ .

Η τιμή που προτείνει ο Αποστόλης είναι περίπου και πιθανότατα δεν μπορεί να πιασθεί .

Από που προκύπτει αυτό ;

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 11, 2019 2:32 pm
Ελάχιστη απόσταση.pngΤο ελάχιστο επιτυγχάνεται για τα σημεία των δύο καμπυλών , στα οποία άγονται

παράλληλες εφαπτόμενες και το είναι κάθετο σ' αυτές .

Επίσης τι θα πει με λογισμικό;
Ειδικά σε αυτόν το φάκελο.

Tolaso J Kos · #4

Δεν έχω απάντηση για την άσκηση . Την άσκηση την πέτυχα στο Μαθηματικό Εργαστήρι και τη μετέφερα εδώ. Με μία γρήγορη απόπειρα ( αποτυχημένη όπως αποδείχθηκε ) βρήκα ότι η ελάχιστη απόσταση είναι $\frac{3\sqrt{2}}{8}$ αλλά δεν είναι όπως φαίνεται.

Θανάση , όπως φαίνεται η άσκηση μάλλον δε λύνεται με το χέρι και πρέπει να καταφύγουμε σε λογισμικό.

KARKAR · #5

Για το κύριο ερώτημα του Σταύρου , ας αντλήσουμε ιδέες από : εδώ , εδώ και εδώ .

Για τη χρήση λογισμικού : Αναπόφευκτη , αν η προκύπτουσα εξίσωση ( εδώ η :

4b^2lnb=1+2b^2-4b^4

) , δεν είναι δυνατόν να αντιμετωπισθεί με σχολική ύλη .

Διόρθωσα την εξίσωση , της οποίας όμως η λύση στην αρχική ανάρτηση είναι σωστή . Ευχαριστώ Γιώργο !

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 11, 2019 9:06 pm
Για το κύριο ερώτημα του Σταύρου , ας αντλήσουμε ιδέες από : εδώ , εδώ και εδώ .

Για τη χρήση λογισμικού : Αναπόφευκτη , αν η προκύπτουσα εξίσωση ( εδώ η :

) , δεν είναι δυνατόν να αντιμετωπισθεί με σχολική ύλη .

Η σωστή εξίσωση είναι η 4b^2lnb=1+2b^2-4b^4

.

#7

Ας ... γελάσουμε και λίγο:

Από τις $2a=\dfrac{1}{b}$ και $\dfrac{lnb-a^2}{b-a}=-b$ συμπεραίνουμε ότι $|AB|^2=(a-b)^2(1+b^2)=\dfrac{(1-2b^2)^2(1+b^2)}{4b^2}=f(b)$ , και από την $f'(b)=0\leftrightarrow b=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ προκύπτει ότι η απόσταση

ελαχιστοποιείται για $b=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ , όπου και ... μηδενίζεται!!!

Μα ... τι πήγε στραβά;!

Ελάχιστη απόσταση

Ελάχιστη απόσταση

Re: Ελάχιστη απόσταση

Re: Ελάχιστη απόσταση

Re: Ελάχιστη απόσταση

Re: Ελάχιστη απόσταση

Re: Ελάχιστη απόσταση

Re: Ελάχιστη απόσταση

Μέλη σε σύνδεση