Ελάχιστη απόσταση
Συντονιστής: emouroukos
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Ελάχιστη απόσταση
Με αφορμή αυτό
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 53&t=63835
Εστω ανοικτά διαστήματα και
παραγωγίσιμες συναρτήσεις ώστε
Εστω
Αν για κάθε
είναι
(δηλαδή στα πιάνεται η μικρότερη απόσταση)
τότε οι εφαπτομένες των στα αντίστοιχα είναι παράλληλες
και το διάνυσμα
είναι κάθετο σε αυτές.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 53&t=63835
Εστω ανοικτά διαστήματα και
παραγωγίσιμες συναρτήσεις ώστε
Εστω
Αν για κάθε
είναι
(δηλαδή στα πιάνεται η μικρότερη απόσταση)
τότε οι εφαπτομένες των στα αντίστοιχα είναι παράλληλες
και το διάνυσμα
είναι κάθετο σε αυτές.
Λέξεις Κλειδιά:
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Ελάχιστη απόσταση
Δε ξέρω κατά πόσο αυστηρά είναι τα παρακάτω, αλλά ας έχει...ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Δευ Φεβ 11, 2019 10:09 pmΜε αφορμή αυτό
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 53&t=63835
Εστω ανοικτά διαστήματα και
παραγωγίσιμες συναρτήσεις ώστε
Εστω
Αν για κάθε
είναι
(δηλαδή στα πιάνεται η μικρότερη απόσταση)
τότε οι εφαπτομένες των στα αντίστοιχα είναι παράλληλες
και το διάνυσμα
είναι κάθετο σε αυτές.
Θεωρούμε το ισοδύναμο πρόβλημα υπό τους περιορισμούς
Από την διατύπωση του προβλήματος και το γεγονός, ότι τα διαστήματα είναι ανοιχτά, συμπεράνουμε ότι το σημείο είναι στάσιμο σημείο της συνάρτησης . Άρα θα πρέπει να ικανοποιεί το θεώρημα του (των πολλαπλασιαστών) Lagrange. Δηλαδή το σύστημα
, όπου και , να έχει λύση. Το σύστημα ισοδύναμα γράφεται
Οπότε στο στάσιμο σημείο θα έχουμε . Αρά οι εφαπτομένες είναι παράλληλες.
Θεωρούμε το διάνυσμα , το διάνυσμα αυτό είναι παράλληλο προς τις εφαπτομένες. Το εσωτερικό γινόμενό του με το διάνυσμα είναι
. Δηλαδή τα διανύσματα είναι κάθετα, επομένως και κάθετο προς τις εφαπτομένες.
Να σημειώσουμε, ότι στη λύση του παραπάνω συστήματος, κάποιο από τα , δεν μπορεί να είναι μηδέν, γιατί από την εκφώνηση οι γραφικές παραστάσεις δεν τέμνονται.
Re: Ελάχιστη απόσταση
Δίνω μόνο την ιδέα λόγω αδυναμίας πληκτρολόγησης σε latex .
1) Ορίζω δύο συναρτήσεις απόστασης, μία την απόσταση του τυχόντος Μ της Cf από το Β, και μία του τυχόντος Ν της Cg από το Α.
2) Αυτές οι δύο συναρτήσεις ελαχιστοποιούνται εξ' υποθέσεως, η πρώτη στο x1 , και η άλλη στο x2.
3) Από το θεώρημα του fermat οι παράγωγοι των δύο συναρτήσεων μηδενίζουν, η πρώτη στο x1 , και η άλλη στο x2. Από αυτό προκύπτει η ζητούμενη παραλληλία των εφαπτομένων. (Μπορούμε να εργαστούμε με τα τετράγωνα των συναρτήσεων για να γλιτώσουμε τις ρίζες στην παραγώγιση)
4) Από το βήμα 3, δε προκύπτει απλώς η ισότητα των παραγώγων στα x1 , x2, αλλά και ποια είναι η κλίση των εφαπτομένων. Από εκεί αποδεικνύεται άμεσα και η ζητούμενη καθετότητα του εν λόγω διανύσματος στις δύο (παράλληλες πλέον) εφαπτομένες.
Νομίζω ότι σκιαγράφησα μια σχολική λύση.
1) Ορίζω δύο συναρτήσεις απόστασης, μία την απόσταση του τυχόντος Μ της Cf από το Β, και μία του τυχόντος Ν της Cg από το Α.
2) Αυτές οι δύο συναρτήσεις ελαχιστοποιούνται εξ' υποθέσεως, η πρώτη στο x1 , και η άλλη στο x2.
3) Από το θεώρημα του fermat οι παράγωγοι των δύο συναρτήσεων μηδενίζουν, η πρώτη στο x1 , και η άλλη στο x2. Από αυτό προκύπτει η ζητούμενη παραλληλία των εφαπτομένων. (Μπορούμε να εργαστούμε με τα τετράγωνα των συναρτήσεων για να γλιτώσουμε τις ρίζες στην παραγώγιση)
4) Από το βήμα 3, δε προκύπτει απλώς η ισότητα των παραγώγων στα x1 , x2, αλλά και ποια είναι η κλίση των εφαπτομένων. Από εκεί αποδεικνύεται άμεσα και η ζητούμενη καθετότητα του εν λόγω διανύσματος στις δύο (παράλληλες πλέον) εφαπτομένες.
Νομίζω ότι σκιαγράφησα μια σχολική λύση.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3341
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Ελάχιστη απόσταση
Ας το δούμε και γεωμετρικά:
Προφανώς η παραλληλία των εφαπτομένων έπεται άμεσα από την καθετότητα προς αυτές του ευθυγράμμου τμήματος που ορίζουν τα δύο σημεία που αντιστοιχούν στην ελάχιστη απόσταση ανάμεσα στις δύο καμπύλες. Αρκεί επομένως να δείξουμε, περνώντας από τις δύο καμπύλες ατην μία, ότι η ελάχιστη απόσταση σημείου από δοθείσα καμπύλη ισούται προς , όπου σημείο επί της καμπύλης όπου η εφαπτομένη της είναι κάθετη προς την .
Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι η ελάχιστη απόσταση του από την καμπύλη ισούται προς , όπου σημείο επί της καμπύλης τέτοιο ώστε η εφαπτομένη εκεί να μην είναι κάθετη προς την . Υπάρχει τότε σημείο επί της καμπύλης (και προς την 'καλή' πλευρά της εφαπτομένης) τέτοιο ώστε ... οπότε , άτοπο. (Αν υπάρχει σημείο επί της καμπύλης προς την 'άλλη' πλευρά της εφαπτομένης και εντός του τριγώνου , όπου η προβολή του επί της εφαπτομένης (βλέπε συνημμένο) τότε η είναι άμεση.)
Για την ύπαρξη σημείου με την παραπάνω ιδιότητα () αρκεί να παρατηρήσουμε ότι καθώς το σημείο πλησιάζει 'αρκετά' προς το (έτσι ώστε να ισχύει η , όπου η οξεία γωνία ανάμεσα στην εφαπτομένη και την ) και η πλησιάζει προς το μηδέν (έτσι ώστε ) ... ισχύει η , άρα και η .
[Το ότι υπάρχει επί της καμπύλης ώστε να ισχύουν ταυτόχρονα οι και μπορεί να δικαιολογηθεί περαιτέρω και ως εξής: ορίζουμε ακολουθία σημείων επί της καμπύλης έτσι ώστε να ισχύει η για κάθε , οπότε ... αν δεν υπάρχει τέτοιο ώστε να ισχύει ταυτόχρονα και η τότε ... ισχύει η αν και , κάτι που αντίκειται στον ορισμό της εφαπτομένης.]
Προφανώς η παραλληλία των εφαπτομένων έπεται άμεσα από την καθετότητα προς αυτές του ευθυγράμμου τμήματος που ορίζουν τα δύο σημεία που αντιστοιχούν στην ελάχιστη απόσταση ανάμεσα στις δύο καμπύλες. Αρκεί επομένως να δείξουμε, περνώντας από τις δύο καμπύλες ατην μία, ότι η ελάχιστη απόσταση σημείου από δοθείσα καμπύλη ισούται προς , όπου σημείο επί της καμπύλης όπου η εφαπτομένη της είναι κάθετη προς την .
Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι η ελάχιστη απόσταση του από την καμπύλη ισούται προς , όπου σημείο επί της καμπύλης τέτοιο ώστε η εφαπτομένη εκεί να μην είναι κάθετη προς την . Υπάρχει τότε σημείο επί της καμπύλης (και προς την 'καλή' πλευρά της εφαπτομένης) τέτοιο ώστε ... οπότε , άτοπο. (Αν υπάρχει σημείο επί της καμπύλης προς την 'άλλη' πλευρά της εφαπτομένης και εντός του τριγώνου , όπου η προβολή του επί της εφαπτομένης (βλέπε συνημμένο) τότε η είναι άμεση.)
Για την ύπαρξη σημείου με την παραπάνω ιδιότητα () αρκεί να παρατηρήσουμε ότι καθώς το σημείο πλησιάζει 'αρκετά' προς το (έτσι ώστε να ισχύει η , όπου η οξεία γωνία ανάμεσα στην εφαπτομένη και την ) και η πλησιάζει προς το μηδέν (έτσι ώστε ) ... ισχύει η , άρα και η .
[Το ότι υπάρχει επί της καμπύλης ώστε να ισχύουν ταυτόχρονα οι και μπορεί να δικαιολογηθεί περαιτέρω και ως εξής: ορίζουμε ακολουθία σημείων επί της καμπύλης έτσι ώστε να ισχύει η για κάθε , οπότε ... αν δεν υπάρχει τέτοιο ώστε να ισχύει ταυτόχρονα και η τότε ... ισχύει η αν και , κάτι που αντίκειται στον ορισμό της εφαπτομένης.]
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες