Ίσες γωνίες και ίσοι λόγοι

#1

: Ίσες γωνίες και ίσοι λόγοι.png (15.99 KiB) Προβλήθηκε 808 φορές

Δίνεται τραπέζιο ABCD, AB>CD

και δύο σημεία K, L

στις βάσεις του AB, CD

αντίστοιχα,

ώστε $\displaystyle \frac{{AK}}{{KB}} = \frac{{DL}}{{LC}}.$ Πάνω στην ευθεία L, K

θεωρούμε τα σημεία P, Q

ώστε $\displaystyle A\widehat PB = B\widehat CD$ και

$\displaystyle C\widehat QD = A\widehat BC.$ Να δείξετε ότι τα σημεία P, Q, B, C

είναι ομοκυκλικά.

#2

Πρώτα-πρώτα λόγω κεντρικής δέσμης οι ευθείες AD,KL,BC

συντρέχουν σε ένα σημείο , έστω

.Ας είναι $E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Z$ τα σημεία τομής των $AP,\,DQ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BP,CQ$ .

Από το (Θ) Μενελάου στα τρίγωνα $TDQ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TCQ$ με διατέμνουσες $\overline {AEP\,} \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overline {BZP}$ έχω:

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{TA}}{{AD}} \cdot \frac{{DE}}{{EQ}} \cdot \frac{{QP}}{{PT}} = 1 \hfill \\ \frac{{TB}}{{BC}} \cdot \frac{{CZ}}{{ZQ}} \cdot \frac{{QP}}{{PT}} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Αφού AB//DC

θα είναι $\boxed{\frac{{TA}}{{AD}} = \frac{{TB}}{{BC}}}$ οπότε οι προηγούμενες δίδουν: $\boxed{\frac{{DE}}{{EQ}} = \frac{{CZ}}{{ZQ}}}$

: Ίσες γωνίες και ίσοι λόγοι.png (40.16 KiB) Προβλήθηκε 765 φορές

Η τελευταία μας εξασφαλίζει ότι EZ//DC//AB

. Το τεράπλευρο όμως PEQZ

είναι εγγράψιμο γιατί $\widehat {EPZ} + \widehat {EQZ} = \widehat {DCB} + \widehat {CBA} = 180^\circ$ .

Μετά απ’ αυτά: $\left\{ \begin{gathered} \widehat {{a_3}} = \widehat {{a_4}} \hfill \\ \widehat {{a_3}} = \widehat {{a_5}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \widehat {{a_4}} = \widehat {{a_5}} \Rightarrow \boxed{\widehat \theta = \widehat \omega }$

που μας εξασφαλίζει ότι και το τετράπλευρο PQBC

είναι εγγράψιμο.

Ίσες γωνίες και ίσοι λόγοι

Ίσες γωνίες και ίσοι λόγοι

Re: Ίσες γωνίες και ίσοι λόγοι

Μέλη σε σύνδεση