Τρισεφαπτόμενος κύκλος

#1

: Τρισεφαπτόμενος κύκλος..png (16.71 KiB) Προβλήθηκε 1729 φορές

Δίνεται τρίγωνο ABC

με

και $\widehat B=30^\circ.$ Κύκλος (K, r)

εφάπτεται στις πλευρές

AB, BC

και εσωτερικά στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC.

Να υπολογίσετε την ακτίνα

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Με ρ την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου, από νόμο συνημιτόνων στο τρίγωνο BOK

και κάτι "ψιλά" προκύπτει

$r=\rho \tau \epsilon \mu ^{2}\frac{B}{2}$

#4

Για την κατασκευή του κύκλου (K)

εναλλακτικά:

Η προβολή του σημείου

επί της

, ταυτίζεται με το έγκεντρο του δοσμένου τριγώνου $\vartriangle ABC$

γνωστό, οπότε η δια του

κάθετη ευθεία επί την

μας δίνει το $D\in AC$ και η δια του

κάθετη ευθεία επί την

μας δίνει το $K\in BI$

και ας είναι

η προβολή του

επί της

.

Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα $\vartriangle EID,\ \vartriangle IDK$ προκύπτει $\boxed{\displaystile r = \frac{(ID)^{2}}{\rho}}\ \ \ ,(1)$ με r = KD

και $\rho = IE$

Αλλά, $ID = (BI)tan15^{o}$ και $\displaystyle BI = \frac{\rho}{sin15^{o}}$ και $\boxed{\displaystyle \rho = \frac{abc}{4Rs}}\ \ \ ,(2)$ όπου $\displaystyle s = \frac{a+b+c}{2}$

με a = 5

και

, λόγω $\angle B = 30^{o}$ , όπου

είναι η ακτίνα του περίκυκλου του $\vartriangle ABC$ .

Από $(1)\Rightarrow$ $\displaystyle r = \frac{\rho}{cos^{2}15^{o}}\ \ \ ,(3)$

Από $(2)\Rightarrow$ $\displaystyle \rho = \frac{15}{11+R}\ \ \ ,(4)$

Από $(3),\ (4)\Rightarrow$ $\displaystyle r = \frac{15}{(11+R)cos^{2}15^{o}}\Rightarrow$ $\boxed{\displaystyle r = \frac{60}{(11+R)(2+\sqrt{3})}}$ λόγω $\displaystyle cos^{2}15^{o} = \frac{2+\sqrt{3}}{4}$

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Με επιφύλαξη για τυχόν λάθος στις πράξεις.

#5

Έστω

η ακτίνα του μεγάλου κύκλου. Έχει αποδειχθεί εδώ ότι $r = \dfrac{{BP \cdot PC}}{{2(R - d)}}$

: Τρισεφαπτόμενος κύκλος.ΙΙ.png (19.28 KiB) Προβλήθηκε 1512 φορές

Είναι λοιπόν $\boxed{r = \frac{{BP(5 - BP)}}{{2(R - d)}}}$ , $\boxed{{d^2} = {R^2} - \frac{{25}}{4}}$ και με νόμο συνημιτόνων $\boxed{R = AC = \sqrt {61 - 30\sqrt 3 }}$

$\displaystyle BP = \frac{r}{{\tan 15^\circ }} \Leftrightarrow BP = r(2 + \sqrt 3 )$ και από τις παραπάνω σχέσεις, $\boxed{r = 2\left( {7 - 4\sqrt 3 } \right)\left( {11 - \sqrt {61 - 30\sqrt 3 } } \right)}$

Τρισεφαπτόμενος κύκλος

Τρισεφαπτόμενος κύκλος

Re: Τρισεφαπτόμενος κύκλος

Re: Τρισεφαπτόμενος κύκλος

Re: Τρισεφαπτόμενος κύκλος

Re: Τρισεφαπτόμενος κύκλος

Μέλη σε σύνδεση