Νηστίσιμη
Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος
Νηστίσιμη
Δεκτές όλες οι λύσεις αλλά λόγω σαρακοστής να δούμε λύση χωρίς τριγωνομετρία .
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Νηστίσιμη
Γεια σας κύριε Νίκο και Καλή Σαρακοστή!
Παίρνω σημείο του επιπέδου, ώστε , και το να είναι σε διαφορετικό ημιεπίπεδο της από το .
Φέρνω, .
Είναι, (εύκολο) και άρα .
Επίσης, έχω , και αφού , τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα.
Έτσι, .
Είναι, , επομένως τα τρίγωνα έχουν :
i)
ii) κοινή
iii) .
Άρα, από το έμμεσο κριτήριο ισότητας τριγώνων (*), προκύπτει ότι είναι ίσα, ή ότι .
Αν ισχύει το δεύτερο, πρέπει το να είναι εγγράψιμο, δηλαδή , προφανώς άτοπο.
Άρα, τα προαναφερθέντα τρίγωνα είναι ίσα, συνεπώς .
(*) Για το έμμεσο κριτήριο δείτε εδώ (η απόδειξη του γίνεται και με Ν.Ημιτόνων)
Παίρνω σημείο του επιπέδου, ώστε , και το να είναι σε διαφορετικό ημιεπίπεδο της από το .
Φέρνω, .
Είναι, (εύκολο) και άρα .
Επίσης, έχω , και αφού , τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα.
Έτσι, .
Είναι, , επομένως τα τρίγωνα έχουν :
i)
ii) κοινή
iii) .
Άρα, από το έμμεσο κριτήριο ισότητας τριγώνων (*), προκύπτει ότι είναι ίσα, ή ότι .
Αν ισχύει το δεύτερο, πρέπει το να είναι εγγράψιμο, δηλαδή , προφανώς άτοπο.
Άρα, τα προαναφερθέντα τρίγωνα είναι ίσα, συνεπώς .
(*) Για το έμμεσο κριτήριο δείτε εδώ (η απόδειξη του γίνεται και με Ν.Ημιτόνων)
- Συνημμένα
-
- fragkakis geometria sarakostiani.png (13.77 KiB) Προβλήθηκε 818 φορές
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13299
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Νηστίσιμη
Σε τέτοια ηλικία , τόσες "στροφές" μόνο θαυμασμό προκαλούνΟρέστης Λιγνός έγραψε: ↑Τετ Μαρ 13, 2019 2:17 pmΓεια σας κύριε Νίκο και Καλή Σαρακοστή!
Παίρνω σημείο του επιπέδου, ώστε , και το να είναι σε διαφορετικό ημιεπίπεδο της από το .
Φέρνω, .
Είναι, (εύκολο) και άρα .
Επίσης, έχω , και αφού , τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα.
Έτσι, .
Είναι, , επομένως τα τρίγωνα έχουν :
i)
ii) κοινή
iii) .
Άρα, από το έμμεσο κριτήριο ισότητας τριγώνων (*), προκύπτει ότι είναι ίσα, ή ότι .
Αν ισχύει το δεύτερο, πρέπει το να είναι εγγράψιμο, δηλαδή , προφανώς άτοπο.
Άρα, τα προαναφερθέντα τρίγωνα είναι ίσα, συνεπώς .
(*) Για το έμμεσο κριτήριο δείτε εδώ (η απόδειξη του γίνεται και με Ν.Ημιτόνων)
Σου εύχομαι αγαπητέ Ορέστη και "Κυβερνήτης" με την ευρεία έννοια της λέξης .
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13299
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Νηστίσιμη
Με Πυθαγόρειο εύκολα και Με 1ο θεώρημα διαμέσων:
Κριτήριο καθετότητας:
κι επειδή θα είναι οπότε το είναι ορθογώνιο και ισοσκελές και
Re: Νηστίσιμη
Καλησπέρα σε όλους.
Φέρνουμε το ύψος και τις διαμέσους . Ευκολα από π.θ. έχουμε ότι: .
Το είναι βαρύκεντρο του οπότε . Τότε το είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, οπότε
Φέρνουμε το ύψος και τις διαμέσους . Ευκολα από π.θ. έχουμε ότι: .
Το είναι βαρύκεντρο του οπότε . Τότε το είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, οπότε
- Συνημμένα
-
- Νηστήσιμη.png (9.84 KiB) Προβλήθηκε 791 φορές
Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Re: Νηστίσιμη
Αυτή είναι η λύση μου αλλά χωρίς υπολογισμούς αφού τα τρίγωνα : είναι όμοια άρα και ισογώνια και το είναι ισοσκελές τραπέζιο .
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5285
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Νηστίσιμη
Καλησπέρα σε όλους. Ελπίζω η Αναλυτική Γεωμετρία να θεωρείται νηστίσιμη (αν και υποκρύπτει στοιχεία Τριγωνομετρίας)...
Έστω , οπότε , άρα .
Αφού μέσο του είναι , οπότε .
Είναι .
Η κάθετη από το στην , έχει εξίσωση και την τέμνει στο .
Είναι οπότε το είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, άρα .
ΠΡΟΣΟΧΗ: Να γίνει άρση της απόκρυψης μετά την 28 Απριλίου 2019
Έστω , οπότε , άρα .
Αφού μέσο του είναι , οπότε .
Είναι .
Η κάθετη από το στην , έχει εξίσωση και την τέμνει στο .
Είναι οπότε το είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, άρα .
ΠΡΟΣΟΧΗ: Να γίνει άρση της απόκρυψης μετά την 28 Απριλίου 2019
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Νηστίσιμη
Καλημέρα στην εκλεκτή παρέα!
κι ακόμη άρα διχοτόμος της .
Τότε τα ορθ. τρίγωνα είναι όμοια με συνέπειες: και .
Προκύπτει άρα διχοτόμος της ορθής οπότε . Φιλικά, Γιώργος.
Στο σχήμα έχουμε επιπλέον και . Βρίσκουμε κι ακόμη άρα διχοτόμος της .
Τότε τα ορθ. τρίγωνα είναι όμοια με συνέπειες: και .
Προκύπτει άρα διχοτόμος της ορθής οπότε . Φιλικά, Γιώργος.
- Μιχάλης Νάννος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3539
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
- Τοποθεσία: Σαλαμίνα
- Επικοινωνία:
Re: Νηστίσιμη
Καλημέρα από το σχολείο! Προεκτείνουμε την κατά και προφανώς
Από την προφανή ομοιότητα των και από αντίστροφο θεωρήματος διχοτόμου, το ζητούμενο έπεται.
«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Re: Νηστίσιμη
Κατασκευάζω το ορθογώνιο
Εστω ότι είναι το μέσο της τότε
Γιάννης
- Συνημμένα
-
- Νηστίσιμη.png (91.17 KiB) Προβλήθηκε 587 φορές
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες