Μοναδική ρίζα

nikos_el · #1

Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ με $f'\left(x\right)>1$ , $\forall x\in\mathbb{R}$ . Να δείξετε ότι η

έχει μοναδική πραγματική ρίζα.

Λύση
Επειδή $f'\left(x\right)>0$ , η

είναι γνησίως αύξουσα, οπότε θα έχει το πολύ μία ρίζα.
Σύμφωνα με το ΘΜΤ, για κάθε x>0

, υπάρχει $\xi\in\left(0,x\right)$ τέτοιο, ώστε $f'\left(\xi\right)=\dfrac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}\Leftrightarrow f\left(x\right)=xf'\left(\xi\right)+f\left(0\right)$ . Οπότε, είναι $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(xf'\left(\xi\right)+f\left(0\right)\right)=+\infty$ , αφού $f'\left(\xi\right)>0$ . Ομοίως, βρίσκουμε $\displaystyle \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=-\infty$ , και αφού η

είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, ισχύει $f\left(\mathbb{R}\right)=\mathbb{R}$ .
Άρα, η

έχει μοναδική ρίζα.

Η παραπάνω λύση είναι σωστή; Ο προβληματισμός μου έγκειται στο αν μπορούμε να πάρουμε το όριο στο $\infty$ με τον παραπάνω τρόπο.

Λάμπρος Κατσάπας · #2

nikos_el έγραψε: Πέμ Μαρ 14, 2019 12:28 am Οπότε, είναι $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(xf'\left(\xi\right)+f\left(0\right)\right)=+\infty$ , αφού $f'\left(\xi\right)>0$ .

Στο συμμαζεύω λιγάκι.

$\displaystyle f\left(x\right)=xf'\left(\xi)+f(0) >x+f(0)$ αφού ${f}'(\xi )>1.$ Παίρνοντας όριο στο $+\infty$ έχουμε το ζητούμενο.

Γενικά (όχι εδώ) θα μπορούσε να συμβεί το εξής: Όταν $x\rightarrow +\infty$ το $f'\left(\xi)\rightarrow 0.$

Οπότε το

θα ''τράβαγε'' το $xf'\left(\xi)$ στο $+\infty$ ενώ το $f'\left(\xi)$ θα το

''τράβαγε'' στο

Οπότε το $xf'\left(\xi)$ δεν ξέρεις που θα ''κάτσει'' τελικά (αν κάτσει κιόλας κάπου).

Άρα εκεί που λες

nikos_el έγραψε: Πέμ Μαρ 14, 2019 12:28 am αφού $f'\left(\xi\right)>0$

η εξήγηση δεν είναι καλή.

Christos.N · #3

αφου το

πως παίρνεις το όριο στο $-\infty$ ;

nikos_el · #4

Christos.N έγραψε: Πέμ Μαρ 14, 2019 1:20 am αφου το πως παίρνεις το όριο στο $-\infty$ ;

Αν

, κάνοντας ΘΜΤ στο $\left(x,0\right)$ έχουμε ότι υπάρχει $\xi\in\left(x,0\right)$ τέτοιο, ώστε $f'\left(\xi\right)=\dfrac{f\left(0\right)-f\left(x\right)}{0-x}\Leftrightarrow f\left(x\right)=xf'\left(\xi\right)+f\left(0\right)$ (δηλαδή η ίδια σχέση που προέκυψε και για x>0

) και μετά παίρνουμε όριο στο $-\infty$

nikos_el · #5

Λίγο διαφορετικά:
Για κάθε $x\in\mathbb{R}$ έχουμε: $f'\left(x\right)>1 \Leftrightarrow \left(f\left(x\right)-x\right)'>0$ , δηλαδή η συνάρτηση $g\left(x\right)=f\left(x\right)-x$ είναι γνησίως αύξουσα. Οπότε, για x>0

είναι: $g\left(x\right)>g\left(0\right)\Leftrightarrow f\left(x\right)>x+f\left(0\right)$ και παίρνοντας όρια στο $+\infty$ βρίσκουμε $\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty$ . Ομοίως, παίρνουμε $\displaystyle \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=-\infty$ . Και τα υπόλοιπα όπως προηγουμένως.

Christos.N · #6

nikos_el έγραψε: Πέμ Μαρ 14, 2019 1:29 am
Christos.N έγραψε: Πέμ Μαρ 14, 2019 1:20 am αφου το πως παίρνεις το όριο στο $-\infty$ ;
Αν , κάνοντας ΘΜΤ στο $\left(x,0\right)$ έχουμε ότι υπάρχει $\xi\in\left(x,0\right)$ τέτοιο, ώστε $f'\left(\xi\right)=\dfrac{f\left(0\right)-f\left(x\right)}{0-x}\Leftrightarrow f\left(x\right)=xf'\left(\xi\right)+f\left(0\right)$ (δηλαδή η ίδια σχέση που προέκυψε και για ) και μετά παίρνουμε όριο στο $-\infty$

Μπορείς να το αποδείξεις αναλυτικά αυτό;

nikos_el έγραψε: Πέμ Μαρ 14, 2019 1:36 am Λίγο διαφορετικά:
... Ομοίως, παίρνουμε $\displaystyle \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=-\infty$ . Και τα υπόλοιπα όπως προηγουμένως.

ή αυτό;

Δεν χρειάζεται όμως σωστές είναι και οι δύο προσεγγίσεις.

Μοναδική ρίζα

Μοναδική ρίζα

Re: Μοναδική ρίζα

Re: Μοναδική ρίζα

Re: Μοναδική ρίζα

Re: Μοναδική ρίζα

Re: Μοναδική ρίζα

Μέλη σε σύνδεση