Χαμένη γωνία

KARKAR · #1

: Χαμένη γωνία.png (12.39 KiB) Προβλήθηκε 1210 φορές

$\bigstar$ Υπολογίστε τη γωνία $\theta$ που σχηματίζει η διαγώνιος

με την πλευρά

.

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #2

Γειά σας!
Απο το

φέρω παράλληλη στην

που τέμνει την

στο

.
Έστω

το συμμετρικό του

με κέντρο συμμετρίας το

, οπότε έχουμε το ισοσκελές τρίγωνο BB'C

, στο οποίο $\widehat{BB'C}=\widehat{BCB'}=\dfrac{180-108}{2}=36^{\circ}$ .
Έστω

και

τα σημεία τομής της

με τις

και

αντίστοιχα.

Στο ισοσκελές τραπέζιο ABCT

έχουμε $\widehat{LCT}=108-36=72^{\circ}$ και $\widehat{BAT}=\widehat{ATC}=72^{\circ}$ άρα το τρίγωνο CLT

είναι ισοσκελές.
Απο τα

κα

φέρω παράλληλες στις

και

αντίστοιχα, οπότε σχηματίζονται τα παραλληλόγραμμα ABML

και

στα οποία $LM=AB=TC=KM=\alpha$ Οπότε έχουμε $LT=\alpha +LK=AK$ .
Τα τρίγωνα λοιπόν ABK

και

έχουν

,

και $\widehat{BAT}=\widehat{CTA}=72^{\circ}$ ίσα, άρα $\widehat{ABD}=\widehat{LCT}=72^{\circ}\Rightarrow \vartheta =90-72=18^{\circ}$

#3

: Χαμένη γωνία.png (32.83 KiB) Προβλήθηκε 1096 φορές

Έστω

το μέσο του

και

το σημείο τομής των ευθειών $AM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC$ .

Αβίαστα προκύπτουν τα παρακάτω:

α) Το $\vartriangle BMA \to (108^\circ ,36^\circ ,36^\circ )$

β) Το $\vartriangle MKC \to (36^\circ ,72^\circ ,72^\circ )$ , ενώ το $\vartriangle MBK \to (144^\circ ,18^\circ ,18^\circ )$

γ) Αφού δε η διάμεσος KM = MB = MC

το $\vartriangle KBC$ είναι ορθογώνιο στο

και

δ) Το τεράπλευρο ABKD

είναι εγγράψιμο , συνεπώς $\boxed{\widehat \theta = \widehat \omega = 18^\circ }$

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 05, 2019 12:54 pm
Χαμένη γωνία.png $\bigstar$ Υπολογίστε τη γωνία $\theta$ που σχηματίζει η διαγώνιος με την πλευρά .

Το τρίγωνο OBC

είναι ισοσκαλές με OB=OC

Ακόμη $AB=BM=MC=MT\Rightarrow \hat{BTC}=90^{0},\hat{TAO}=\hat{TOA}=36^{0},AT=TO=TD$
Συνεπως $BT\perp OD,OT=TD,BD=BO\Rightarrow 54-\theta =36^{0}\Leftrightarrow \theta =18^{0}$

Γιάννης

#5

Καλησπέρα σε όλους. Ομολογώ ότι η παρακάτω λύση είναι ανιαρή, προβλέψιμη, τετριμμένη, τριγωνομετρική.

Όμως, γλυτώνω τον κόπο να κάνω νέο σχήμα!

Παίρνω το σχήμα του Θανάση, δεν πειράζω τίποτα και βρίσκω τη χαμένη γωνία.

: Χαμένη γωνία.png (12.39 KiB) Προβλήθηκε 966 φορές

Είναι $\displaystyle 0 < \theta < 54^\circ$ .

Στο DAB

είναι $\displaystyle BD = \frac{a}{{\eta \mu \theta }}$ . Στο BDC

είναι $\displaystyle BD = \frac{{2a\eta \mu 108^\circ }}{{\eta \mu \left( {54^\circ - \theta } \right)}}$ , οπότε

$\displaystyle \frac{1}{{\eta \mu \theta }} = \frac{{2\eta \mu 108^\circ }}{{\eta \mu \left( {54^\circ - \theta } \right)}} \Leftrightarrow \eta \mu \left( {54^\circ - \theta } \right) = 2\eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu 18^\circ$

$\displaystyle \Leftrightarrow \eta \mu 54^\circ \sigma \upsilon \nu \theta - \sigma \upsilon \nu 54^\circ \eta \mu \theta = 2\eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu 18^\circ$

$\displaystyle \Leftrightarrow \sigma \varphi \theta = \frac{{2\sigma \upsilon \nu 18^\circ + \sigma \upsilon \nu 54^\circ }}{{\eta \mu 54^\circ }} = \frac{{ - \sigma \upsilon \nu 18^\circ + 4\sigma \upsilon {\nu ^3}18^\circ }}{{3\eta \mu 18^\circ - 4\eta {\mu ^3}18^\circ }} = \sigma \varphi 18^\circ \frac{{4\sigma \upsilon {\nu ^2}18^\circ - 1}}{{3 - 4\eta {\mu ^2}18^\circ }}$

$\displaystyle \Leftrightarrow \sigma \varphi \theta = \sigma \varphi 18^\circ \frac{{4 - 4\eta {\mu ^2}18^\circ - 1}}{{3 - 4\eta {\mu ^2}18^\circ }} \Leftrightarrow \sigma \varphi \theta = \sigma \varphi 18^\circ \Leftrightarrow \theta = 18^\circ$ .

Χαμένη γωνία

Χαμένη γωνία

Re: Χαμένη γωνία

Re: Χαμένη γωνία

Re: Χαμένη γωνία

Re: Χαμένη γωνία

Μέλη σε σύνδεση